f (x,y )=｛sin(xy )/xy xy≠0 ｛1 xy=0 次の関数の連続性を調べよ。 こ

f (x,y )=｛sin(xy )/xy xy≠0
｛1 xy=0

次の関数の連続性を調べよ。
この問題が解けません。誰か教えてくれませんか？

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/07/24 07:46

次の関数の連続性を調べよ。

f (x,y )=｛sin(xy )/xy xy≠0
｛1 xy=0
１，連続であるとはlim(δ→0,ε→0) f (x+δ，y+ε)= f (x,y )＿＿①
が成立することである。連続性が問題となるのは、xy=0となる点のみである。
それは、(1)ｘ＝０，ｙ≠０、(2)ｘ≠０，ｙ＝０、(3) ｘ＝０，ｙ＝０の3つの場合に分けられる。
それらの点では定義により式①の右辺はf (x,y )=１である。また、次の式②は成立する。
lim(z→0)sin(z)/ z =１＿＿②
(1) (2) (3)のいずれの場合も②により①が成立し、連続である。
(1)ｘ＝０，ｙ≠０のとき、式①は③となる。
lim(δ→0,ε→0) f (δ，y+ε)= lim(δ→0,ε→0)sin(δ(y+ε))/δ(y+ε)=1＿＿③
③はz =δ(y+ε)とすると、δ→0のときz→0となり、②により、③は成立する。
(2)ｘ≠０，ｙ＝０のとき、式①は④となる。
lim(δ→0,ε→0) f (x+δ，ε)= lim(δ→0,ε→0)sin((x+δ)ε)/(x+δ)ε=1＿＿④
④はz =(x+δ)εとすると、ε→0のときz→0となり、②により、④は成立する。
(2)ｘ≠０，ｙ＝０のとき、式①は④となる。
lim(δ→0,ε→0) f (δ，ε)= lim(δ→0,ε→0)sin(δε)/δε=1＿＿⑤
⑤はz =δεとすると、δ→0,ε→0のときz→0となり、δ,εがどのような方向から(0､0)に近付いても②により、⑤は成立する。

No.1 回答者： 酪酸納豆 回答日時： 2018/07/22 10:53

連続である。