積分基礎問題を教えてください。 公式に当てはめていけばわかる問題なんですが∞とか出てくると値をどうす

積分基礎問題を教えてください。
公式に当てはめていけばわかる問題なんですが∞とか出てくると値をどうすればいいか？わからなくなってしまいます。

公式に当てはめて解説お願いします。
arctanの値とか以外と忘れそうなのあったら教えてください。

質問者からの補足コメント

• 最後のはできました。

  
    補足日時：2018/07/30 22:07

• あります。
  ①②は解けました。
  
  今③個目ので迷っているのですが
  変形すると
  arctan(x+1/2)
  xに∞を入れたら
  arctanの値はどうなりますか？
  
  arctan∞/2として見て
  
  π/2でいいですか？

    補足日時：2018/07/31 00:14

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/07/31 00:11

「広義積分」という表現を目にしたことはありませんか?

No.2 回答者： afilter 回答日時： 2018/08/02 07:26

∫dx/(x^2+a^2)=(1/a)arctan(x/a)+C (a≠0)

∫dx/( a^2 -x^2)^1/2=arcsin(x/a)+C (a>0)
ですから、

（１）∫[-2,∞]dx/(x^2+2^2)=(1/2)arctan(x/2)[-2,∞]
=(1/2)(π/2-(-π/4))=3π/8
（２）∫[-2,1]dx/(4-x^2)^1/2=arcsin(x/2)[-2,1]=π/6-(-π/2)=2π/3
（３）∫[1,∞]dx/((x+1)^2+2^2)=(1/2)arctan((x+1)/2)[1,∞]
=(1/2)(π/2-(π/4))=π/8
となります。

(1)と(3)は本質的に同じものです。(3)でu=x+1とおけば∫[2,∞]du/(u^2+2^2)となります。

arcsin(x)=θ⇔ sinθ=x (-π/2≦θ≦π/2)
arctan(x)=θ ⇔tanθ=x(-π/2<θ<π/2)
ですから、この式を満足するθを求めることになります。

代表的な値は、
arcsin(0)=0 arcsin(±1/2)=±π/6 arcsin(±1/√2)=±π/2
arcsin(±√3/2)=±π/3 arcsin(±1)=±π/2
arctan(0)=0 arctan(±1/√3) =±π/6 arctan(±1)=±π/4
arctan(±√3) =±π/3 arctan(±∞)=±π/2

上の表で、arctan(±∞)は他のものと多少意味が違います。tan(π/2)は定義されないからです。
これは、次のように解釈します。

θ→π/2-0のとき、x= tanθ→∞
ですから、
x→∞のとき、θ=arctan(x) →π/2
となります。これを
arctan(∞)=π/2
のように、略記します。

No.3 回答者： afilter 回答日時： 2018/08/02 08:22

追加説明です。

ax+b→±∞(x→±∞)(a>0)
ax+b→±∞(x→∓∞)(a<0)
以上は、複合同順
となりますよね。