数学の問題です。 f(x)=x^ne^-x (nは自然数)の増減及び極値を調べ、y=f(x)のグラフ

数学の問題です。
f(x)=x^ne^-x (nは自然数)の増減及び極値を調べ、y=f(x)のグラフの概形を描け。
この問題解る方お願いします。

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/07/31 22:16

とりあえず微分してみたら？

まずは導関数が０となるｘを求めることは分かるよね？

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/07/31 23:33

f(x)=x^ne^-x (nは自然数)の増減及び極値を調べ、y=f(x)のグラフの概形を描け。

f(x)=x^ne^-x＿＿①
xの変域はx≧0とする。f(0)=0。f(x) ≧0である。 x→∞のときf(x) →0
f '(x)=nx^(n-1)e^-x－x^ne^-x=(n－x)x^(n-1)e^-x＿＿②
f '(x)=0となるxを求めると、自然数n≧1だから、x=0とx=nである。
増減表は
x　 |0|~|n|~ |∞|
f(x)|0|↗|n|↘|∞|
グラフの概形はy=xe^-xとy=x^2e^-xを図に示す。
y=xe^-xではf '(x)=1/eである。ｎ≧２ではf '(x)=０である。最大点の位置はx=nだから
ｎが増加すると右に移る。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2018/08/01 22:24

No.3 回答者： afilter 回答日時： 2018/08/01 18:16

f(x)=x^ne^-x

f(x)>0 (x>0) f(x)→0 (x→∞)

n偶数のとき
f(x)>0 (x<0)
f(x)→∞ (x→-∞)

n奇数のとき
f(x)<0 (x<0)
f(x)→-∞ (x→-∞)

f '(x)=nx^(n-1)e^-x-x^ne^-x=(n-x)x^(n-1)e^-x

n=1のとき、f '(x)=(1-x)e^-x
f '(x) >0 (x<1)
f '(x)<0 (x>1)
f(1)=1/e (極大値)

n偶数のとき
f '(x)<0 (x<0) f '(x)>0 (0<x<n) f '(x)<0 (x>n)
f(0)=0 (極小値)　f(n)=n^ne^-n (極大値)

nが1以外の奇数のとき
f(0)=0 (変曲点)　f(n)=n^ne^-n (極大値)

概形は下図のようになる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。理解出来ました。

お礼日時：2018/08/01 22:23