お手上げです

新聞に某予備校の広告記事で載ってた問題ですが、お手上げです。

「(√5+√7)^2018 の少数第１００位の数字を求めよ」
というものです。
二項定理を使うんでしょうか、でも少数第１００位はどのように？
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• ご回答ありがとうございます。
  回答レベルが高いのでもう少し詳しく解説いただけると幸いです。
  
  A2n+B2n=(√7+√5)^2n+(√7-√5)^2n=N(2n)
  とおけば、N(2n)は整数となる。
  の部分で、なぜN(2n)は整数といえるのですか。（2n）は何を意味するのですか。
  
  Bn=(√7-√5)^n<(2/(√7+√5))^n<(1/2)^n
  の部分は、(√7-√5)=(2/(√7+√5))だから、Bn=(√7-√5)^n=(2/(√7+√5))^n<(1/2)^n
  ではないのでしょうか。
  
  B2018<(1/2)^2018<(1/10)^500・・・・・①
  の部分で、なぜいきなり(1/2)^2018<(1/10)^500といえるのですか。
  
  よろしくお願いします。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/08/13 22:51

• 

  №４さま、№５さま ありがとうございます。
  しかしながら、まだわかりません。
  B2018<(1/2)^2018<(1/10)^500・・・・・①
  
  A2018+B2018=(√7+√5)^2018+(√7-√5)^2018=N(2018)
  A2018 =N(2018)-B2018
  
  N(2018)は整数であるから、①を考慮すると、
  A2018の少数第100位の数字は９である。
  
  ①はわかりましたが、N(2018)は整数であることと、①を考慮すると、
  A2018 =N(2018)-B2018からなぜいきなり、
  A2018の少数第100位の数字は９であるといえるのですか。
  (1/10)^500は小数第５００位のことではないのでしょうか。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/08/18 00:12

No.5 回答者： afilter 回答日時： 2018/08/14 11:03

nは自然数ですから、2nは偶数を表します。

A2n+B2n=(√7+√5)^2n+(√7-√5)^2n=N(2n)
において、例えば、
n=1とすると、
A2+B2=(√7+√5)^2+(√7-√5)^2=7+5+2√35+7+5-2√35=24
N(2) =24となります。
同様に、
N(4) =568
となります。
これは、(√7+√5)^2nと(√7-√5)^2nに2項定理を適用すれば、簡単にわかります。整数以外の数（√35）が現れるのは、(√7の奇数乗)x(√5の奇数乗)と(√7の奇数乗)x(-√5の奇数乗)からだけであり、これらは相殺して０となります。

それから
Bn=(√7-√5)^n<(2/(√7+√5))^n<(1/2)^n
は誤りで、正しくは、
Bn=(√7-√5)^n=(2/(√7+√5))^n<(1/2)^n
です。

この回答へのお礼

№４さま、№５さま ありがとうございます。
しかしながら、まだわかりません。
B2018<(1/2)^2018<(1/10)^500・・・・・①

A2018+B2018=(√7+√5)^2018+(√7-√5)^2018=N(2018)
A2018 =N(2018)-B2018

N(2018)は整数であるから、①を考慮すると、
A2018の少数第100位の数字は９である。

①はわかりましたが、N(2018)は整数であることと、①を考慮すると、
A2018 =N(2018)-B2018からなぜいきなり、
A2018の少数第100位の数字は９であるといえるのですか。
(1/10)^500は小数第５００位のことではないのでしょうか。

お礼日時：2018/08/18 00:13

No.4 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/08/13 23:21

A2nとB2nを二項定理で展開すると、偶数番目の項の符号がA2nとB2nで逆になるので、足すと消えます。

残りの項では全て偶数乗があるので整数だけになります。

N(2n)とは、f(x)みたいなものです。x=2nを代入しているという感じです。2nは偶数を表します。

2018=4･504+2なので
(1/2)^2018=(1/16)^(504+1/2)<(1/16)^504<(1/16)^500<(1/10)^500

No.3 回答者： afilter 回答日時： 2018/08/13 08:22

An=(√7+√5)^n

Bn=(√7-√5)^n
とおく。

A2n+B2n=(√7+√5)^2n+(√7-√5)^2n=N(2n)
とおけば、N(2n)は整数となる。

Bn=(√7-√5)^n<(2/(√7+√5))^n<(1/2)^n
B2018<(1/2)^2018<(1/10)^500・・・・・①

A2018+B2018=(√7+√5)^2018+(√7-√5)^2018=N(2018)
A2018 =N(2018)-B2018

N(2018)は整数であるから、①を考慮すると、
A2018の少数第100位の数字は９である。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/08/13 01:54

「そんなものは存在しない」

というのも 1つの解答かと.

No.1 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/08/12 17:52

対数使うと思うけどなぁ。

わからん。対数で考えてみて