No.2ベストアンサー
- 回答日時:
まず、そのグラフは描き直した方が良い。
なんでy=2がその位置でy=-1がその位置なの。
たまに目測を誤ることで見えなくなっちゃう問題もあると思うんで、こういうのは描き直した方が。
もっとも、描き直すと細くて見えなくなっちゃうような物も無いでは無いけれど。
で、y=x³とy=3x+2がx=-1で接しているんだから、{x³}-{3x+2}はx=-1で重解でしょう。
二次式で慣れた方が良いんだけれど、
y=x²-1とy=2(x-1)はx=1で接しますよね。たぶん。ま、x=1での接線を考えて下さいな。
まず、この二本を同一グラフに描いて下さい。
次に、y=x²-1-2(x-1)のグラフも描き入れて下さい。
二次曲線、曲線から、一次直線、直線分を引いたら、斜めに歪んだ二次曲線になるかと思ったら、普通の二次曲線になっちゃった。しかも平行移動しただけ、って事ですよね。平方完成でも何でもしてみれば、どちらの二次曲線も、y=x²を平行移動しただけの物、でしょう。
元がy=ax²でその平行移動曲線と、それから接線分を引いた物も、y=ax²の平行移動物です。
たぶん実数平面上の全二次曲線は、y=ax²を平行移動した物しか無いのです。
y=ax²+bx+cのbやcがどんな実数であっても、平方完成させればy=ax²の平行移動物になるはずです。
んだもんで、y=ax²+bx+cからy=px+qを引いた物も、y=ax²の平行移動物になっちゃうんです。
しかも、y=px+qがy=ax²+bx+cの接線である場合、
y=(px+q)-(px+q)=0ですよね。当たり前。xがなんであってもyはずっと0ってこと。つまりx軸ということ。
グラフ上で、直線から直線分を引いたらx軸になっちゃった。
y=(ax²+bx+c)-(px+q)というのは、グラフ上で、二次曲線から直線分を引いているわけ。
どうなるか。
接点のx座標でx軸に接する二次曲線になっちゃう。
接点のx座標がsなら、y=a(x-s)²になっちゃうんです。確定。
二次曲線と直線、二次曲線と接線、というのは、こういう関係にあります。
三次曲線でも概ね同様。ただし、y=ax³+bxという場合、aとbの符号が逆なら、bxによって、y=ax³に左上瘤と右下瘤ができちゃいますがね。平行移動にはならない。
でも、y=ax³の接線がy=bx+cであるなら、同様にグラフ上で両者からbx+cを差し引くことを考えると、y=ax³-bx-cは、接点でx軸と重解するはずです。
まずはグラフ上で直感的に見て欲しい。
abcの使い方をリセットします。
y=ax³+bx²+cx+d
y=pでの接線は、
y=(3ap²+2bp+c)(x-p)+ap³+bp²+cp+d
=(3ap²+2bp+c)x-3ap³-2bp²+cp+ap³+bp²+cp+d
=(3ap²+2bp+c)x-2ap³-bp²+d
じゃぁこの式を三次式から差し引くと、
y=ax³+bx²+cx+d-{(3ap²+2bp+c)x-2ap³-bp²+d}
=ax³+bx²-{(3ap²+2bp)x-2ap³-bp²}
=ax³+bx²-(3ap²+2bp)x+2ap³+bp²
一方、(x-p)²=x²-2px+p²で、この式で強引に割ってみると、
(見辛いかもしれないんで自分でやってみて)
ax +(2ap+b)
____________________________
x²-2px+p² )ax³+bx²-(3ap²+2bp)x+2ap³+bp²
ax³-2apx²+ap²x
_______________
(2ap+b)x²-(4ap²+2bp)x+2ap³+bp²
(2ap+b)x²-(2ap+b)2px+(2ap+b)p²
_____________________________
0
でちゃんと割り切れる。
y=ax³+bx²+cx+d-{(3ap²+2bp+c)x-2ap³-bp²+d}
=(x-p)²(ax+2ap+b)
計算には自信ないんで、検算してね。全部aで括れるともっと綺麗なんだけど、その辺りで計算間違ってたりして。
一般式で重解してるんだから、その問題の式だって重解してるはずです。計算してみましょう。
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