1辺の長さが3の正四面体OABCにおいて、 →OA＝→a ,→OB＝→b ,→OC＝→cとする。 O

1辺の長さが3の正四面体OABCにおいて、
→OA＝→a ,→OB＝→b ,→OC＝→cとする。
OAを2:1に内分する点をK、BCを1:2に内分する点をL、KLの中点をMとする。
（1）→OPを→b、→cを用いて表わせ。
（2）AM:MP
（3）直線OMが平面ABCと交わる点をQとする時、→OQを→a ,→b ,→cを用いて表わせ。

これらの問題を教えてください！お願いします！

質問者からの補足コメント

• （1）の前に、直線AMが平面OBCと交わる点をPとする。
  と入ります！すみません、抜けてました。

    補足日時：2018/09/03 19:13

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/09/04 15:36

何が分からなくての質問なのですか？　それをクリアにしないと、答だけ聞いても意味がありませんよ。

(1) ができて、(3)ができない理由は何なのでしょうね？

ちゃんと図は描いてみましたか？
図を描けば、そこにいろいろなヒントが見つかるし、頭の整理にもなります。

(1)
→OK = (2/3)→a
→OL = →OB + (1/3)→BC = →b + (1/3)( →BO + →OC ) = →b + (1/3)( →c - →b ) = (2/3)→b + (1/3)→c
→KM = (1/2)→KL = (1/2)( →KO + →OL ) = (1/2)( →OL - →OK ) = (1/2)[ (2/3)→b + (1/3)→c - (2/3)→a ]
　　　= - (1/3)→a + (1/3)→b + (1/6)→c
→OM = →OK + →KM = (2/3)→a - (1/3)→a + (1/3)→b + (1/6)→c = (1/3)→a + (1/3)→b + (1/6)→c

→AM = →AK + →KM = -(1/3)→a - (1/3)→a + (1/3)→b + (1/6)→c = - (2/3)→a + (1/3)→b + (1/6)→c

→AP = k･→AM とすると
→AP = - (2k/3)→a + (k/3)→b + (k/6)→c

従って
→OP = →OA + →AP = →a - (2k/3)→a + (k/3)→b + (k/6)→c = [(3 - 2k)/3]→a + (k/3)→b + (k/6)→c　　　　　①
　
一方、P は平面OBC上にあるので
　→OP = m･→b + n･→c　　　　②
と書ける。

①②が恒等的に等しくなるためには
　3 - 2k = 0 → k=3/2
　m = k/3 = 1/2
　n = k/6 = 1/4

従って
　→OP = (1/2)→b + (1/4)→c

(2) 上記(1)より

→AP = (3/2)→AM

なので、
　AM：MP = 2 : 1

(3)同じように考えればよいです。

→OM = (1/3)→a + (1/3)→b + (1/6)→c
なので、
→OQ = s･→OM = (s/3)→a + (s/3)→b + (s/6)→c　　　③
とします。
一方、
→OQ = →OA + →AQ
で、Q は平面ABC上にあるので
→AQ = p･→AB + q･→AC = p(→b - →a) + q(→c - →a) = -(p + q)→a + p･→b + q･→c
として
→OQ = →OA + →AQ = →a - (p + q)→a + p･→b + q･→c = (1 - p - q)→a + p･→b + q･→c　　　　④

③④が恒等的に等しくなるためには
　s/3 = 1 - p - q
　s/3 = p
　s/6 = q
より
　s = 6/5
　p = 2/5
　q = 1/5

よって
　→OQ = (2/5)→a + (2/5)→b + (1/5)→c

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/09/04 00:29

どこで困っている?

この回答へのお礼

（3）の解き方が分からなくて...
（3）を、教えて頂きたいです！

お礼日時：2018/09/04 05:21