ベクトルの問題です

空間において、二点Ｐ．Ｑは直線ｌ；２ｘ＝ｙ＝ｚと直角に交わる直線上あって、直線ＰＱはｌによって常に１：２の比に内分されているとする。Ｐが平面５ｘ＋２ｙ－ｚ＝１の上を動くとき、Ｑが描く図形の方程式を求めよ。

解答　直線ｌ；２ｘ＝ｙ＝ｚの方向ベクトルはｌ→＝（１．２．２）である。
ア.Ｐ（ｘ、ｙ、ｚ）、Ｑ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）とするとき
ＰＱ→がｌ→に垂直であるから、
ｌ→・ＰＱ→＝（Ｘ－ｘ）＋２（Ｙ－ｙ）＋２（Ｚ－ｚ）＝０　..(A)

イ.線分ＰＱを１：２に内分する点Ｒは
（ (2x+X)/3 , (2y+Y)/3 , (2z+Z)/3 )
であり、これがｌ上にあるから
２（２ｘ＋Ｘ）＝２ｙ＋Ｙ＝２ｚ＋Ｚ.......(B)

ウ.Ｐは平面　５ｘ＋２ｙ－ｚ＝１上にあるから
５ｘ＋２ｙ－ｚ＝１......(C)
以上からｘ、ｙ、ｚを消去すればよい。

（Ｂ）から　ｙ＝２ｘ＋Ｘ－Ｙ/２、ｚ＝２ｘ＋Ｘ－Ｚ/2
これは（Ａ）、（Ｃ）に代入して整理すると、それぞれ
－３ｘ－Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝０　.....（Ｄ）
１４ｘ＋２Ｘ－２Ｙ＋Ｚ＝２　......（Ｅ）

Ｄ×１４＋Ｅ×３　　　　－８Ｘ＋８Ｙ＋１７Ｚ＝６
よって、点Ｑ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）のえがく図形は、平面
８ｘ－８ｙ－１７ｚ＋６＝０
である。

質問１：直線ｌ；２ｘ＝ｙ＝ｚの方向ベクトルがなぜ、（１．２．２）なのですか？確か係数の部分が方向ベクトルに成ると学んだ気がするのですが、そうすると（２．１．１）と考えましたけど＞＿＜？？

質問２：線分ＰＱを１：２に内分する点Ｒは2x+X/3 etc.. となってましたが、分母が３になるのは、１：２で３と見てるからだと思いますが、なぜ分子が２ｘ＋Ｘetc..となってるのでしょうか？

どなたか教えてください、宜しくお願いします！！

No.1 ベストアンサー 回答者： banakona 回答日時： 2007/03/21 13:13

質問１：勘違いをしておられるようですね。

　直線ｘ／ａ＝ｙ／ｂ＝ｚ／ｃの方向ベクトルは（ａ，ｂ，ｃ）となります。直線lをこの形で表すと
　ｘ／０.５＝ｙ／１＝ｚ／１
ですから方向ベクトルは（０.５，１，１）となります。小数は一般に嫌われますから、全体に２を掛けると（１，２，２）となります。
　因みに「平面」２ｘ＋ｙ＋ｚ＝０の「法線」ベクトルは（２，１，１）です。こちらと混同されたのでは？

質問２:位置ベクトルＰ→、Ｑ→で表される２点Ｐ，Ｑを１：２に内分する点をＲとすると、ベクトルＲ→は
　　　Ｒ→＝（２・Ｐ→＋１・Ｑ→）／（２＋１）
で表されます。あとはｘ、ｙ、ｚの各成分ごとに書けば、２ｘ＋Ｘetc..が出てきます。
一般に、２点Ｐ，Ｑをｍ：ｎに内分する点Ｒは
　　　Ｒ→＝（ｎ・Ｐ→＋ｍ・Ｑ→）／（ｍ＋ｎ）　　　・・・（＊）
で表されます。分子で、ｎとｍの登場順が逆になる点が面白いです。
　（証明）ｍ：ｎに内分されて成る２つの線分の内、「ｍ側」は
　　　Ｒ→－Ｐ→
と表すことができ、同じく「ｎ側」は
　　　Ｑ→－Ｒ→
と表すことができます。これらは当然、互いに平行で、かつ「ｍ側」は「ｎ側」のｍ／ｎ倍ですから
　　　　Ｒ→－Ｐ→＝（Ｑ→－Ｒ→）（ｍ／ｎ）
（ ）を外してＲ→について解くと、式（＊）が出てきます。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証明おわり）

この回答へのお礼

返事書いていただいて、ありがとうございました。
＃１さんのご指摘どおり、方向ベクトルと法線ベクトルがごちゃごちゃしてました。あと、内分と外分について、いろいろな教科書を読んでるのですが、何度読み返しても100%理解できないで居る状態です＞＿＜
これは覚えるしかないのでしょうか？？？＞＿＜　
返事書いていただいて本当にどうもありがとうございました！！！

お礼日時：2007/03/22 21:52

No.2 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/03/21 23:44

まいりました。

ひたすら、解答通りに検算し、
凄い計算力！　また、どうやって、この手順を！
と思って、

質問１　を読んで愕然！　なんのために検算したんだ！　せめて、質問２に何かある、と。

質問２　を　見て唖然！　解答者がもう既にいるから終了してる！！！

で、気を取り直して、＃１を読もう。
質問１　は終了（そりゃそうだ）
質問２　んんん　ちょっと書く余地あり
当方は前問、前々問に関与しました。
いまだに、前々問の計算終了したのか、とひっかかています。もう計算捨ててしまったけど。　あと、別解書く心算たけど、・・・
余談かいてたら、きりがない・・・
ーーーーーーー

で本論
＞＞質問２：線分ＰＱを１：２に内分・・・
＃１様は証明かいてるみたいけど・・・
証明はどこにでも出てるから、当方は３行程・・・
＃１様ゴメン　なんでこんなに難解なの・・・

以下　ｐ、ｑ、ｃ　は　Ｐ、Ｑ、Ｃ　の　位置ＶＥＣＴＯＲ
点Ｐ（ｐ）、点Ｑ（ｑ）を
　　　ｍ：ｎに内分をする点を、点Ｃ（ｃ）とする。　
内分点の公式（ｍ、ｎの一方が負なら外分）
合わせて＜分点の公式＞・・・ＶＥＣＴＯＲでなくても同形

ｃ＝（ｎｐ＋ｍｑ）/（ｍ＋ｎ）
本問では１：２　即　ｃ＝（２ｐ＋ｑ）/３
終了ーーーううう（涙）

この回答へのお礼

あの。。泣かないでください＞＿＜　返事書いていただいてありがとうございました！！　内分と外分もう一度勉強しなおします。あと、＃１さんのご指摘どおり、方向ベクトルと法線ベクトルがごちゃごちゃしてました。数学は、本当にまっくらな洞窟を進んでるような状況ですので、いったいどうしたら、数学の解答をしてくれる方々のように
すべてが明瞭な状況になれるのか不思議です＞＿＜！！
でもあきらめないで頑張りますありがとうございました！！＞＿＜！！！

お礼日時：2007/03/22 21:44