空間において、二点P.Qは直線l;2x=y=zと直角に交わる直線上あって、直線PQはlによって常に1:2の比に内分されているとする。Pが平面5x+2y-z=1の上を動くとき、Qが描く図形の方程式を求めよ。
解答 直線l;2x=y=zの方向ベクトルはl→=(1.2.2)である。
ア.P(x、y、z)、Q(X,Y,Z)とするとき
PQ→がl→に垂直であるから、
l→・PQ→=(X-x)+2(Y-y)+2(Z-z)=0 ..(A)
イ.線分PQを1:2に内分する点Rは
( (2x+X)/3 , (2y+Y)/3 , (2z+Z)/3 )
であり、これがl上にあるから
2(2x+X)=2y+Y=2z+Z.......(B)
ウ.Pは平面 5x+2y-z=1上にあるから
5x+2y-z=1......(C)
以上からx、y、zを消去すればよい。
(B)から y=2x+X-Y/2、z=2x+X-Z/2
これは(A)、(C)に代入して整理すると、それぞれ
-3x-X+Y+Z=0 .....(D)
14x+2X-2Y+Z=2 ......(E)
D×14+E×3 -8X+8Y+17Z=6
よって、点Q(X,Y,Z)のえがく図形は、平面
8x-8y-17z+6=0
である。
質問1:直線l;2x=y=zの方向ベクトルがなぜ、(1.2.2)なのですか?確か係数の部分が方向ベクトルに成ると学んだ気がするのですが、そうすると(2.1.1)と考えましたけど>_<??
質問2:線分PQを1:2に内分する点Rは2x+X/3 etc.. となってましたが、分母が3になるのは、1:2で3と見てるからだと思いますが、なぜ分子が2x+Xetc..となってるのでしょうか?
どなたか教えてください、宜しくお願いします!!
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
質問1:勘違いをしておられるようですね。
直線x/a=y/b=z/cの方向ベクトルは(a,b,c)となります。直線lをこの形で表すと
x/0.5=y/1=z/1
ですから方向ベクトルは(0.5,1,1)となります。小数は一般に嫌われますから、全体に2を掛けると(1,2,2)となります。
因みに「平面」2x+y+z=0の「法線」ベクトルは(2,1,1)です。こちらと混同されたのでは?
質問2:位置ベクトルP→、Q→で表される2点P,Qを1:2に内分する点をRとすると、ベクトルR→は
R→=(2・P→+1・Q→)/(2+1)
で表されます。あとはx、y、zの各成分ごとに書けば、2x+Xetc..が出てきます。
一般に、2点P,Qをm:nに内分する点Rは
R→=(n・P→+m・Q→)/(m+n) ・・・(*)
で表されます。分子で、nとmの登場順が逆になる点が面白いです。
(証明)m:nに内分されて成る2つの線分の内、「m側」は
R→-P→
と表すことができ、同じく「n側」は
Q→-R→
と表すことができます。これらは当然、互いに平行で、かつ「m側」は「n側」のm/n倍ですから
R→-P→=(Q→-R→)(m/n)
( )を外してR→について解くと、式(*)が出てきます。
(証明おわり)
返事書いていただいて、ありがとうございました。
#1さんのご指摘どおり、方向ベクトルと法線ベクトルがごちゃごちゃしてました。あと、内分と外分について、いろいろな教科書を読んでるのですが、何度読み返しても100%理解できないで居る状態です>_<
これは覚えるしかないのでしょうか???>_<
返事書いていただいて本当にどうもありがとうございました!!!
No.2
- 回答日時:
まいりました。
ひたすら、解答通りに検算し、
凄い計算力! また、どうやって、この手順を!
と思って、
質問1 を読んで愕然! なんのために検算したんだ! せめて、質問2に何かある、と。
質問2 を 見て唖然! 解答者がもう既にいるから終了してる!!!
で、気を取り直して、#1を読もう。
質問1 は終了(そりゃそうだ)
質問2 んんん ちょっと書く余地あり
当方は前問、前々問に関与しました。
いまだに、前々問の計算終了したのか、とひっかかています。もう計算捨ててしまったけど。 あと、別解書く心算たけど、・・・
余談かいてたら、きりがない・・・
ーーーーーーー
で本論
>>質問2:線分PQを1:2に内分・・・
#1様は証明かいてるみたいけど・・・
証明はどこにでも出てるから、当方は3行程・・・
#1様ゴメン なんでこんなに難解なの・・・
以下 p、q、c は P、Q、C の 位置VECTOR
点P(p)、点Q(q)を
m:nに内分をする点を、点C(c)とする。
内分点の公式(m、nの一方が負なら外分)
合わせて<分点の公式>・・・VECTORでなくても同形
c=(np+mq)/(m+n)
本問では1:2 即 c=(2p+q)/3
終了ーーーううう(涙)
あの。。泣かないでください>_< 返事書いていただいてありがとうございました!! 内分と外分もう一度勉強しなおします。あと、#1さんのご指摘どおり、方向ベクトルと法線ベクトルがごちゃごちゃしてました。数学は、本当にまっくらな洞窟を進んでるような状況ですので、いったいどうしたら、数学の解答をしてくれる方々のように
すべてが明瞭な状況になれるのか不思議です>_<!!
でもあきらめないで頑張りますありがとうございました!!>_<!!!
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