AがBよりもはやくy=0になる可能性はないのですか？

AがBよりもはやくy=0になる可能性はないのですか？

No.6 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/10/14 18:51

No.5です。

二乗と添え字の0の文字を変えたので、いくらか読みやすくなったか。
ABPの添え字は変えられなかった。内容は同じです。
Pの等加速度運動の加速度をaとすると
t=0~t₀の運動方程式は
d²xP/dt²=a＿＿①
①を積分すると、xPの初速度=Pの初速度vPだから
dxP/dt= vP+at＿＿②
Aのt=t₀以後の運動方程式は
d²xA/dt²=0＿＿③
③を積分すると、xAの速度はxPの速度②を引継いで
dxA/dt=vP+a t₀＿＿④
④を積分すると、
xA =(vP+a t₀)(t－t₀)＿＿⑤
yAの加速度は
d²yA/dt²=－g＿＿⑥
⑥を積分すると、Aのt=t₀の初速度はvAだから
dyA/dt= vA－g(t－t₀)＿＿⑦
⑦を積分すると、yAのt=t₀における高さはhだから
yA =h+ vA(t－t₀)－(g/2)(t－t₀)²＿＿⑧
Bは角度θ、初速度vBで射出されるので、
t=t₀の初速度はdxB/dt=vB cosθ、dyB/dt=vB sinθである。
Bのt=t₀以後の運動方程式は
d²xB/dt²=0＿＿⑨
⑨を積分すると、dxB/dtの初速度を使って
dxB/dt= vB cosθ＿＿⑩
⑩を積分すると
xB= vB cosθ(t－t₀)＿＿⑪
yBのt=t₀以後の加速度は
d²yB/dt²=－g＿＿⑫
⑫を積分すると、dyB/dtの初速度を使って
dyB/dt= vB sinθ－g(t－t₀)＿＿⑬
⑬を積分すると、yBの初期高さ=0を使って
yB= vB sinθ(t－t₀)－(g/2)(t－t₀)²＿＿⑭
加速度aは、質点ABが空中で衝突するように設定されているので、
その瞬間のtにおいて、xA=xB、yA=yBが成立する。⑤⑪⑧⑭を使うと
xA =(vP+a t₀)(t－t₀) = vB cosθ(t－t₀) = xB＿＿⑮
yA =h+ vA(t－t₀)－(g/2)(t－t₀)²
= vB sinθ(t－t₀)－(g/2)(t－t₀)²= yB＿＿⑯
となる。⑮を(t－t₀)で割ると⑰となり、これからaが求められる。
(vP+a t₀)(t－t₀) = vB cosθ(t－t₀)
vP+a t₀= vB cosθ＿＿⑰
a=(vB cosθ－vP)/ t₀＿＿⑱
これが(1)の答えである。
次に(2)のAの高さが最高になる時は、⑦のdyA/dtが0となるので
dyA/dt= vA－g(t－t₀)=0＿＿⑲
から
g(t－t₀)= vA
t－t₀= vA/g＿＿⑳
となる。これを⑤と⑧に入れると
xA =(vP+a t₀)(t－t₀) =(vP+a t₀)vA/g＿＿㉑
yA =h+ vA(t－t₀)－(g/2)(t－t₀)²=h+ vA²/g－(g/2)(vA/g)²
=h+ vA²/2g＿＿㉒
となる。㉑㉒が(2)の答えである。
(3)のAとBが衝突するまでの時間は⑯から求める。
⑯に(g/2)(t－t₀)²をたすとgを含む項が消えて
h+ vA(t－t₀) = vB sinθ(t－t₀)＿＿㉓
h= vB sinθ(t－t₀)－vA(t－t₀) = (vB sinθ－vA)(t－t₀)
これからt－t₀を解いて、AとBが衝突するまでの時間は
t－t₀= h/(vB sinθ－vA)＿＿㉔
である。
(4)ABが空中で衝突した時のyA=yBはプラスの必要がある。
式⑭をyB>0に入れて、㉔を入れると
yB= vB sinθ(t－t₀)－(g/2)(t－t₀)²>0
= vB sinθh/(vB sinθ－vA)－(g/2)(h/(vB sinθ－vA))²>0
から
vB sinθh/(vB sinθ－vA) > (g/2)(h/(vB sinθ－vA))²＿＿㉕
vB sinθ> (g/2)h/(vB sinθ－vA)
2vB sinθ(vB sinθ－vA)/g>h
これから、hが満たすべき条件は㉖となる。
h< 2vB sinθ(vB sinθ－vA)/g＿＿㉖

＞なぜAのほうがはやいんですか？
式㉖の条件を満たさないと、Pの高さが高すぎて、
なかなか落ちないうちに、Bが地面に落ちてしまう。
その時は、衝突の高さの座標yA=yBはマイナスまたは0になってしまう。
式㉖の条件を満たすときは、衝突の高さの座標yA=yBはプラスになり空中で衝突する。
仮に衝突しないで、透過するとしたときは、Aが上から来てBに追いついて透過してBを追い越して、地面にはAが早く着くことになる。

No.5 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/10/14 18:22

Pの等加速度運動の加速度をaとすると

t=0~t０の運動方程式は
d２xP/dt２=a＿＿①
①を積分すると、xPの初速度=Pの初速度vPだから
dxP/dt= vP+at＿＿②
Aのt=t０以後の運動方程式は
d２xA/dt２=0＿＿③
③を積分すると、xAの速度はxPの速度②を引継いで
dxA/dt=vP+a t０＿＿④
④を積分すると、
xA =(vP+a t０)(t－t０)＿＿⑤
yAの加速度は
d２yA/dt２=－g＿＿⑥
⑥を積分すると、Aのt=t０の初速度はvAだから
dyA/dt= vA－g(t－t０)＿＿⑦
⑦を積分すると、yAのt=t０における高さはhだから
yA =h+ vA(t－t０)－(g/2)(t－t０)２＿＿⑧
Bは角度θ、初速度vBで射出されるので、
t=t０の初速度はdxB/dt=vB cosθ、dyB/dt=vB sinθである。
Bのt=t０以後の運動方程式は
d２xB/dt２=0＿＿⑨
⑨を積分すると、dxB/dtの初速度を使って
dxB/dt= vB cosθ＿＿⑩
⑩を積分すると
xB= vB cosθ(t－t０)＿＿⑪
yBのt=t０以後の加速度は
d２yB/dt２=－g＿＿⑫
⑫を積分すると、dyB/dtの初速度を使って
dyB/dt= vB sinθ－g(t－t０)＿＿⑬
⑬を積分すると、yBの初期高さ=0を使って
yB= vB sinθ(t－t０)－(g/2)(t－t０)２＿＿⑭
加速度aは、質点ABが空中で衝突するように設定されているので、
その瞬間のtにおいて、xA=xB、yA=yBが成立する。
⑤⑪⑧⑭を使うと
xA =(vP+a t０)(t－t０) = vB cosθ(t－t０) = xB＿＿⑮
yA =h+ vA(t－t０)－(g/2)(t－t０)２
= vB sinθ(t－t０)－(g/2)(t－t０)２= yB＿＿⑯
となる。⑮を(t－t０)で割ると⑰となり、これからaが求められる。
(vP+a t０)(t－t０) = vB cosθ(t－t０)
vP+a t０= vB cosθ＿＿⑰
a=(vB cosθ－vP)/ t０＿＿⑱
これが(1)の答えである。
次に(2)のAの高さが最高になる時は、⑦のdyA/dtが0となるので
dyA/dt= vA－g(t－t０)=0＿＿⑲
から
g(t－t０)= vA
t－t０= vA/g＿＿⑳
となる。これを⑤と⑧に入れると
xA =(vP+a t０)(t－t０) =(vP+a t０)vA/g＿＿㉑
yA =h+ vA(t－t０)－(g/2)(t－t０)２=h+ vA２/g－(g/2)(vA/g)２
=h+ vA２/2g＿＿㉒
となる。㉑㉒が(2)の答えである。
(3)のAとBが衝突するまでの時間は⑯から求める。
⑯に(g/2)(t－t０)２をたすとgを含む項が消えて
h+ vA(t－t０) = vB sinθ(t－t０)＿＿㉓
h= vB sinθ(t－t０)－vA(t－t０) = (vB sinθ－vA)(t－t０)
これからt－t０を解いて、AとBが衝突するまでの時間は
t－t０= h/(vB sinθ－vA)＿＿㉔
である。
(4)ABが空中で衝突した時のyA=yBはプラスの必要がある。
式⑭をyB>0に入れて、㉔を入れると
yB= vB sinθ(t－t０)－(g/2)(t－t０)２>0
= vB sinθh/(vB sinθ－vA)－(g/2)(h/(vB sinθ－vA))２>0
から
vB sinθh/(vB sinθ－vA) > (g/2)(h/(vB sinθ－vA))２＿＿㉕
vB sinθ> (g/2)h/(vB sinθ－vA)
2vB sinθ(vB sinθ－vA)/g>h
これから、hが満たすべき条件は㉖となる。
h< 2vB sinθ(vB sinθ－vA)/g＿＿㉖

＞なぜAのほうがはやいんですか？
式㉖の条件を満たさないと、Pの高さが高すぎて、なかなか落ちないうちに、
Bが地面に落ちてしまう。
その時は、衝突の高さの座標yA=yBはマイナスまたは0になってしまう。
式㉖の条件を満たすときは、衝突の高さの座標yA=yBはプラスになり空中で衝突する。
仮に衝突しないで、透過するとしたときは、Aが上から来てBに追いついて透過してBを追い越して地面にはAが早く着くことになる。

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/10/14 09:27

Pの等加速度運動の加速度をaとすると

t=0~t０の運動方程式は
d２xP/dt２=a＿＿①
①を積分すると、xPの初速度=Pの初速度vPだから
dxP/dt= vP+at＿＿②
Aのt=t０以後の運動方程式は
d２xA/dt２=0＿＿③
③を積分すると、xAの速度はxPの速度②を引継いで
dxA/dt=vP+a t０＿＿④
④を積分すると、
xA =(vP+a t０)(t－t０)＿＿⑤
yAの加速度は
d２yA/dt２=－g＿＿⑥
⑥を積分すると、Aのt=t０の初速度はvAだから
dyA/dt= vA－g(t－t０)＿＿⑦
⑦を積分すると、yAのt=t０における高さはhだから
yA =h+ vA(t－t０)－(g/2)(t－t０)２＿＿⑧
Bは角度θ、初速度vBで射出されるので、t=t０の初速度はdxB/dt=vB cosθ、dyB/dt=vB sinθである。
Bのt=t０以後の運動方程式は
d２xB/dt２=0＿＿⑨
⑨を積分すると、dxB/dtの初速度を使って
dxB/dt= vB cosθ＿＿⑩
⑩を積分すると
xB= vB cosθ(t－t０)＿＿⑩
yBのt=t０以後の加速度は
d２yB/dt２=－g＿＿⑪
⑪を積分すると、dyB/dtの初速度を使って
dyB/dt= vB sinθ－g(t－t０)＿＿⑫
⑫を積分すると、yBの初期高さ=0を使って
yB= vB sinθ(t－t０)－(g/2)(t－t０)２＿＿⑬
加速度aは、質点ABが空中で衝突するように設定されているので、その瞬間のtにおいて、
xA=xB、yA=yBが成立する。⑤⑩⑧⑬を使うと
xA =(vP+a t０)(t－t０) = vB cosθ(t－t０) = xB＿＿⑭
yA =h+ vA(t－t０)－(g/2)(t－t０)２= vB sinθ(t－t０)－(g/2)(t－t０)２= yB＿＿⑮
となる。⑭を(t－t０)で割ると⑯となり、これからaが求められる。
(vP+a t０)(t－t０) = vB cosθ(t－t０)
vP+a t０= vB cosθ＿＿⑯
a=(vB cosθ－vP)/ t０＿＿⑰
これが(1)の答えである。次に(2)のAの高さが最高になる時は、⑦のdyA/dtが0となるので
dyA/dt= vA－g(t－t０)=0＿＿⑱
から
g(t－t０)= vA
t－t０= vA/g＿＿⑲
となる。これを⑤と⑧に入れると
xA =(vP+a t０)(t－t０) =(vP+a t０)vA/g＿＿⑳
yA =h+ vA(t－t０)－(g/2)(t－t０)２=h+ vA２/g－(g/2)(vA/g)２
=h+ vA２/2g＿＿㉑
となる。⑳㉑が(2)の答えである。
(3)のAとBが衝突するまでの時間は⑮から求める。⑮に(g/2)(t－t０)２をたすとgを含む項が消えて
h+ vA(t－t０) = vB sinθ(t－t０)＿＿㉒
h= vB sinθ(t－t０)－vA(t－t０) = (vB sinθ－vA)(t－t０)
これからt－t０を解いて、AとBが衝突するまでの時間は
t－t０= h/(vB sinθ－vA)＿＿㉒
である。
(4)ABが空中で衝突した時のyA=yBはプラスの必要がある。式⑬をyB>0に入れて、㉒を入れると
yB= vB sinθ(t－t０)－(g/2)(t－t０)２>0
= vB sinθh/(vB sinθ－vA)－(g/2)(h/(vB sinθ－vA))２>0
から
vB sinθh/(vB sinθ－vA) > (g/2)(h/(vB sinθ－vA))２＿＿㉓
vB sinθ> (g/2)h/(vB sinθ－vA)
2vB sinθ(vB sinθ－vA)/g>h
これから、hが満たすべき条件は㉓となる。
h< 2vB sinθ(vB sinθ－vA)/g＿＿㉓

＞なぜAのほうがはやいんですか？
㉓の条件を満たさないで、空中で衝突しない場合は、Bの方が早く地面に着くため、衝突の場所yA=yBが地面より低くなってしまう。

No.3 回答者： doc_somday 回答日時： 2018/10/10 20:07

ＡとＢのy位置の微分方程式を作ってみて下さい。

両者の差は定数なので追いつきません。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/10 20:03

No.1です。

＞なぜAのほうがはやいんですか？

ＡとＢが同時に同じ座標にいたら、それは「衝突する」ということです。（射出台Ｐとは、同じ座標になっても「透過」するようです）
「衝突地点」は「ＡとＢの軌道が最初に交差する点」であり、問題の(2)(4)には「図のように、Ａが落下中に衝突する」ということなので、衝突地点前ではＢはＡと交差しない、つまり「Ｂの方が下にある」ということです。ということで、衝突地点ではＡの方が下向きの速さが大きい、ということが言えます。
衝突地点では、Ｂは上昇中か、あるいは下降中であっても最高点がＡよりも低いので、Ｂの下向きの速さがＡよりも大きいことはあり得ないからです。

ということで、衝突地点でＡの下向きに速さがＢよりも大きいので、そのまま衝突せずに進めばＡの方が先に地面に到達します。

ところで、本当に質問したいこと、分からないこと、問題を解く上で困っていることは何なのですか？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/10 17:58

衝突しなければ、Aの方が早く地面に達するでしょうね。

でも「衝突する」というのが与えられた条件です。

この回答へのお礼

なぜAのほうがはやいんですか？

お礼日時：2018/10/10 18:04