数学III 複素数の問題です。 複素数平面を利用して点(5,5)を直線y=2xに関して対称に移動した

数学III 複素数の問題です。

複素数平面を利用して点(5,5)を直線y=2xに関して対称に移動した点の座標を求めよ。

答えは(1,7)です。
解説をご教授下さい。


解答を見ても良く理解できませんでした。
考え方込みでご教授頂けると嬉しいです。

宜しくお願いします。

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/10/11 00:25

点(5, 5) を -arctan2 回転させ、x軸に関して対称移動した後、arctan2 回転させれば直線 y=2x に関して対称移動したことになる。

tanθ=2 とすると
i> -θ 回転
(cosθ-isinθ)(5+5i)
=5(cosθ+sinθ)+5i(cosθ-sinθ)
ii> 実数軸に関して対称移動
5(cosθ+sinθ¥-5i(cosθ-sinθ)
iii>

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/10/11 01:14

うっかり途中で送信してしまいました。

i> -θ 回転
(cosθ-isinθ)(5+5i)
=5(cosθ+sinθ)+5i(cosθ-sinθ)
ii> 実数軸に関して対称移動
5(cosθ+sinθ)-5i(cosθ-sinθ)
iii> θ回転
(cosθ+isinθ){5(cosθ+sinθ)-5i(cosθ-sinθ)}
=5(cos²θ+2sinθcosθ-sin²θ)+5i(sin²θ+2sinθcosθ-cos²θ)
=5(cos2θ+sin2θ)-5i(cos2θ-sin2θ)
=5{(1-tan²θ)/(1+tan²θ)+2tanθ/(1+tan²θ)}-5i{(1-tan²θ)/(1+tan²θ)-2tanθ/(1+tan²θ)}
=5{(1-4)/(1+4)+2・2/(1+4)}-5i{(1-4)/(1+4)-2・2/(1+4)}
=1+7i
といった具合ですかね。

この回答へのお礼

お礼が遅くなってしまい、申し訳ありません。ありがとうございました！

お礼日時：2018/10/15 18:38

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/10/11 22:23

元ベクトルのy=2xに垂直な方向の射影を求めて、

その-2倍を元のベクトルに足せば良い。
イメージ沸きますか?

y=2xに垂直なべクトルは(2, -1)=a, 元のベクトルv=(5.5)として
射影=b=(v・a/a^2)a={(5, 5)・(2,-1)/|(2, -1)|^2}a=(2,-1)
v-2b=(5,5)-2(2,-1)=(1,7)

この回答へのお礼

お礼が遅くなってしまい、申し訳ありません。ありがとうございました。

お礼日時：2018/10/15 18:39

No.4 回答者： think2nd 回答日時： 2018/10/12 23:11

こんなのどうかな。

??
　基礎知識の　uとｖを複素数とするとき　|u|=|v|=1ならば
　　　arg(uv)=arg(u)+arg(v)　　
　　　arg(u/v)=arg(u)-arg(v)
　を使って
　　y=2x上にある長さ1の複素数をuとしてu=（１＋２ｉ）/√(5)を作る。
　　z=5+5iと偏角が等しくて大きさが１の複素数vは
　　　v=(１＋i)/√(2)　とvを作る。直線y=2xとvとでできる角度Θは
　　Θ=arg(u/v)で求まるからzにu/vを2回かければ求まる。(注意　必ず複素数平面にz,u,vを描いて確認してください。)
　　　求める複素数はz(u/v)^2を計算して
　　　z(u/v)^2=(u^2)z/(v^2)=(-3+4i)(1+i)/i=1+7i
　　点（５，５）は2Θ回転させると点(1,7)に移る。

この回答へのお礼

詳しくありがとうございました！

お礼日時：2018/10/15 18:40

No.5 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/10/14 16:31

複素数平面を利用して点(5,5)を直線y=2xに関して対称に移動した点の座標を求めよ。

複素数を利用して計算する。
点(5,5)をAとする。複素数を使ってA=5+5ｉと書く。Aの対称点をCとし、
ACの中点をBとする。
直線y=2xの上の点を一つ取ってDとする。ここではD=(1,2)=1+2ｉとする。
ODは直線y=2xの方向を示すベクトルである。ODにｉをかけると、ODは左回りに90°回転してOEとなる。
E=D×i=(1+2ｉ)×i=－2+i
OEはABおよびACと平行である。AからOEと平行に進めばB、Cに達する。
AにベクトルOEのk倍を足せばBになる。kは適当な定数である。
B=A+kE=(5+5ｉ)+k(－2+i)=5－2k+(5+k)i
Bは直線y=2xの上にあるから、Bのx座標5－2kとy座標5+kは
y=5+k=2(5－2k)
の関係がある。これを解くとk=1となる。
CはAにkEの２倍たせばよいからC=A+2E=(5+5ｉ)+2(－2+i)=1+7i

この回答へのお礼

詳しくありがとうございました！

お礼日時：2018/10/15 18:40