高校数学Ⅲの回転体の積分の問題です。 写真の２番目の問題です。 体積を求める時にxの二乗はどこから出

高校数学Ⅲの回転体の積分の問題です。
写真の２番目の問題です。
体積を求める時にxの二乗はどこから出てきたのでしょうか？解答は別の載せておきます。教えて下さい。

質問者からの補足コメント

• これが解答です。言い忘れましたが、xの2乗の話は解答に書かれていることです。

  
    補足日時：2018/10/24 19:22

No.4 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/10/30 01:32

問題の体積Vは次式になる。

V=π∫[0~1/2]x^2dy－(1/3)(1/2)π(π/3)^2＿＿①
第1項はy=cosｘのｙ=0~1/2ｙ=の部分をy軸の周りに回転した回転体の体積で、
半径がxで厚さが微小量dyの円盤を積分すると考えると、∫(πx^2)dyとなる。
第2項はy=(3/2π)xの直線をy軸の周りに回転してできる円錐の体積である。
この円錐は、底面が半径(π/3)の円で、高さ(1/2)で、体積は底面積×高さ/3です。
第1項のdyは、dy/dx=－sin xを使うと、微小厚さdy=sin x|dx|で
積分範囲は、x=π/2~π/3までとなる。積分の向きを反対に変えて、
x=π/3 ~π/2とし、|dx|を－dxに変えると、Vは式②になる。
円錐の部分はπ^3/54となる。
V=π∫(π/3 ~π/2) x^2(sin x)dx－π^3/54＿＿②
x^2cosxを微分すると(x^2cosx)'=2xcosx－x^2sin x
この式を積分すると、次の部分積分の公式ができる。
[x^2cosx]=∫2xcosxdx－∫(x^2sin x)dx
∫(x^2sin x)dx=∫2xcosxdx－[x^2cosx]＿＿③
またxcosxを微分すると(xsinx)'=sinx+xcos x
この式を積分すると、次の部分積分の公式ができる。
[xsinx]= ∫sinxdx+∫xcos x dx=－[cos x]+∫xcos x dx
∫xcos x dx=[xsinx]+[cos x] =[xsinx+cos x]＿＿④
④を③に入れると
∫(x^2sin x)dx=∫2xcosxdx－[x^2cosx]=2[xsinx+cos x]－[x^2cosx]
= [－x^2cosx+2xsinx+2cos x] ＿＿⑤
②に⑤を入れると
V=π∫(π/3 ~π/2) x^2 sin x dx－π^3/54
=π[－x^2cosx+2xsinx+2cos x](π/3 ~π/2)－π^3/54
=π[(1/2)(π/3)^2+π－(2π/3)(√3/2)－1]－π^3/54
=π[(1/2)(π/3)^2+π－(2π/3)(√3/2)－1]－π^3/54
=π(π^2/27+π－π/√3－1)＿＿➅

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/10/26 01:18

ふむ, 体積が

π ∫ x^2 dy
であることは問題なし, と.

この積分を実際に計算するときに
x^2 のところを y の式で書く
のが普通だけど, この場合はそれをやると面倒くさい. そこで, その代わりに
積分で使う変数を y から x に置き換える
やったのがその解答の式だ. 1行目の 2つ目の等号のあとで積分変数が y から x に置き換わっているけど,
単純に y を x に書き換えた＊だけではない＊
ことはわかっていると思う.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/10/25 23:42

おかしいなぁ, 1 の方で y^2 を積分していることが理解できているなら, 2 の方で x^2 を積分するのも同じ様に理解できて不思議じゃないんだけどなぁ....

1 でなぜ y^2 を積分するのか, 理由を書くことはできますか?

この回答へのお礼

1だとyの二乗にして、問題文の最初のyの式を代入することができるけれど、2ではxの二乗にy＝cosxの逆関数を代入して求めるのではないのですか？x二乗をそのまま積分してもいいんですか？ なんか根本的に自分の考えが間違っているような気がしているんですが… 愚問ですいません。

お礼日時：2018/10/26 00:11

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/10/25 02:26

確認ですが, もともとの質問の写真にある 1 の解答で V を計算するときに被積分関数が

(x/√(1-ｘ^2))^2 = y^2
になっている理由はわかりますか?

この回答へのお礼

わかります！

お礼日時：2018/10/25 08:54