数学III 色々な曲線 問題 双曲線C1:xy=1 双曲線C2:x^2-y^2=1 についてC2を原

数学III 色々な曲線

問題
双曲線C1:xy=1
双曲線C2:x^2-y^2=1
についてC2を原点中心にπ/4回転し、√2倍に拡大すると、C1となることを示せ。

C1とC2を極方程式に表す事はできましたが、
そのC2の極方程式のrを√2倍、θをπ/4増えると考えて、(√2)^2cos2(θ＋π/4)=1としました。

なぜr/√2とθ−π/4とするのか分かりません。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/11/04 09:07

双曲線C1:xy=1＿＿①

双曲線C2:x²－y²=1＿＿②
についてC2を原点中心にπ/4回転し、√2倍に拡大すると、C1となることを示せ。

極座標にすると、x=r cosθ，y=r sinθを①②に入れて
双曲線C1:r²cosθsinθ=1＿＿③
双曲線C2: r²cos²θ－r²sin²θ= r²(cos²θ－sin²θ)= r²cos2θ=1＿＿④
ここでr=r₁/√2，θ=θ₁−π/4＿＿⑤という変換を行い、④に入れると
(r₁²/2)cos(2(θ₁−π/4)=(r₁²/2)cos(2θ₁−π/2)=(r₁²/2)sin(2θ₁)
=r₁²sinθ₁cosθ₁=1＿＿⑥
⑥は③のC1と同じ形の方程式だから、C1の図形を示します。⑤を逆に解くと。
r₁=√2 r、θ₁=θ+π/4＿＿⑥
となり、⑤の変換後のr₁は変換前のrの√2倍になっていて、変換後のθ₁は変換前のθよりπ/4増えています。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2018/11/06 14:12