（1）関数y＝x²－8x＋0(0≦x≦k)の最小値が3であるように定数kの値を求めよただし、k＞0

（1）関数y＝x²－8x＋0(0≦x≦k)の最小値が3であるように定数kの値を求めよただし、k＞0

（2）kを定数とする。kx²－4x＋k＋3＞0が常に成り立つようなkの値を求めよ

（3）a,a,b,c,d,dの6個の文字から4個の文字を取り出して並べる並べかたら何通りあるか

（4）大中小3個のサイコロを投げる時、少なくとも1個は3の倍数の目がでる確率を求めよ


この問題を教えてください！

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2018/11/13 14:36

＞（1）関数y＝x²－8x＋0(0≦x≦k)の最小値が3であるように定数kの値を求めよただし、k＞0

問題文が間違っていませんか？
y＝x²－8x＋k
かな？

(1)(2) 二次関数の「基本形」が分かれば解けます。その二次関数のグラフがどういう形をしているかは、「平方完成」を作れば分かります。

(1) y ＝ x² - 8x + k = (x - 4)² - 16 + k　　　①
　なので、このグラフは「(4, k-16) を頂点とした、下に凸の放物線」であることが分かります。
　つまり、すべての x の範囲では「x=4 のとき、最小値 k-16」になります。

　この問題の場合には、「0 ≦ x ≦ k」という条件が付いているので、ちょっと面倒です。

(a) 0 < k < 4 のときには、0 ≦ x < 4 なので ① は頂点を含みません。この範囲では「単調減少」なので、最小値は x の定義域の右端、つまり x=k のときです。
　このときの①の値は
　　y = k² - 8k + k = k² - 7k
ですから、これが「3」ということは
　　k² - 7k = 3
→　k² - 7k - 3 = 0
→　k = [ 7 ± √(49 + 12) ]/2 = 7/2 ± (√61)/2
これは
　　7/2 - (√61)/2 < 0
　　7/2 + (√61)/2 > 7
なので「0 < k < 4」の条件を満たしません。
　従って、この範囲内に適切な k は存在しない。

(b) 4 ≦ k のときには、① は頂点を含みます。従って、この範囲では x=4 のとき最小となり、最小値は k-16 です。
これが「3」ということは
　　k - 16 = 3
→　k = 19
　これは 4 ≦ k を満たします。

従って、求める k は
　　k = 19

(2) (1)と同様に「平方完成」を作ります。
k≠0 のとき
　y = kx² - 4x + k + 3
　　= k[ x² - (4/k)x ] + k + 3
　　= k[ x - (2/k) ]² - 4/k² + k + 3　　　②
これから分かることは
(a) k>0 なら、②は「頂点が ( 2/k, -4/k² + k + 3 )、下に凸の放物線」。
(b) k<0 なら、②は「頂点が ( 2/k, -4/k² + k + 3 )、上に凸の放物線」。
(c) k=0 なら、②は「y = -4x + 3」の直線。

問題で与えられた「与式 > 0 が常に成り立つ」とは、②のグラフが「常に x 軸よりも上にある」ということです。
上の(a)～(c) のうち、(b)(c)は「すべての x に対して x 軸よりも上にある」ことはあり得ませんので、「与式 > 0 が常に成り立つ」のは(a)のときだけです。

そして、(a) で「常に x 軸よりも上にある」ためには、「頂点」の y 座標が正であればよいことが分かります。つまり
　-4/k² + k + 3 > 0
これを満たすには
　k³ + 3k² - 4 > 0　　　③
ぱっと見て k=1 のとき k³ + 3k² - 4 = 0 になるので、(x - 1) を因子にもつことから
　k³ + 3k² - 4 = (k - 1)(k² + 4k + 4) = (k - 1)(k + 2)²
よって③は
　(k - 1)(k + 2)² > 0
(k + 2)² > 0 なので
　k - 1 > 0
よって
　1 < k

(3) 組合せの数と、その並べ方をすべて数えればよいです。

(a) 「a」が0個の場合：組合せは「bcdd」の１つだけ。その並べ方は全部で 4! ですが、そのうち「２つの d をひっくり返したものは同じ」なので、その半分で
　　4!/2 = 12 とおり
(b) 「d」が0個の場合：組合せは「aabc」の１つだけ。その並べ方は全部で 4! ですが、そのうち「２つの a をひっくり返したものは同じ」なので、その半分で
　　4!/2 = 12 とおり
(c) 「a」「d」がそれぞれ１個の場合：組合せは「abcd」の１つだけ。その並べ方は
　　4! = 24 とおり
(d) 「a」のみが2個の場合：「d が0個の場合」は(b) で数えているので、それ以外の組合せは「aa + d + bcのどちらか」の2通り、その各々の並べ方は(a)(b)と同じで12通り、従って合計で
　　2 * 12 = 24 とおり
(e) 「d」のみが2個の場合：「a が0個の場合」は(a) で数えているので、それ以外の組合せは「dd + a + bcのどちらか」の2通り、その各々の並べ方は(a)(b)と同じで12通り、従って合計で
　　2 * 12 = 24 とおり
(f) 「a」「d」とも2個ずつの場合：組合せは「aadd」の１つだけ。その並べ方は 4! のうち「２つの a を交換したものは同じ」「２つの d を交換したものは同じ」なので、
　　4!/(2 * 2) = 6 とおり

これで、不足や重複はないかな？　全部を足して
　　12 + 12 + 24 + 24 + 24 + 6 = 102 とおり
かな？

(4) 「少なくとも1個は3の倍数の目がでる」ということは、全体の確率「1」から「3の倍数の目が1つも出ない」確率を引けば求まります。
「3の倍数の目が1つも出ない」のは、毎回「1,2,4,5 のどれか」ということなので
　(4/6) * (4/6) * (4/6) = (2/3)³ = 8/27
です。従って、少なくとも1個は3の倍数の目がでる確率は
　1 - 8/27= 19/27

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2018/11/13 13:11

2) k ＞0 かつ D＜0より

D/4=(-2)^2ーk・(k+3)=ーk^2 ー3k+4=(k+4)(ーk+1)＜0
よって k ＞1 のみ！

No.2 回答者： takoハ 回答日時： 2018/11/13 13:05

3) a a d d は、4！/2！・2！=4！/4=6

a a b c は、4！/2! =12
a a b d は、4！/2！
a a c dは、4 ！/2 ！
d d b cは、4！/2！
d d a cは、4!/2!
d d a bは、4！/2！
以上まとめれば、12・6+6=78

4) 全く出ないのは、(4/6)^3=8/27 よって 1- 8/27=19/27

No.1 回答者： takoハ 回答日時： 2018/11/13 12:40

4) 全く出ないのは、(4/6)^3=8/27 よって 1- 8/27=19/27