水の問題です。 流出開始からt秒後の水量をV(t),水深をh(t)とする。 1秒間に流出する水の量は

水の問題です。

流出開始からt秒後の水量をV(t),水深をh(t)とする。
1秒間に流出する水の量は、水の深さの平方根に比例する。
という条件を dV/dt＝−k√h (kは正の定数)
と書けるのはなぜですか？

dV/dtはある瞬間の水量変化ですよね？
1秒間とはまた違うのでは？

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/12 16:03

時刻ｔについて、1秒間に流出する水の量は、水の深さの平方根に√h比例するので、仮にこのときの流出量を√h・aとあらわすことにする

ではΔｔ秒間では？
→Δｔ秒間に流出する水の量は、1秒間のΔｔ倍→流出量√h・a・Δt
（結局Δｔ秒間に流出する水量も水の深さの平方根に比例することになる。）
したがって
V(t+Δt)-V(t)=-√h・a・Δt←←←流出量とは減少量ということ。左辺が表すのは増加量だから、右辺も増加量に改める
　　　　　　　　　　　　　　　　必要がるのでマイナスをつける。　
⇔{V(t+Δt)-V(t)}/Δt=-√h・a・・・①
変化量Δｔをどんどん小さくしていくと
左辺＝Lim(Δt⇒0){V(t+Δt)-V(t)}/Δt=V'(t)=dV/dt
また右辺については　Δｔ→０のとき-√h・a→-√h・a=-a√h
よってｄV/dt=-a√h
本問ではこのaをｋにしただけ
ということです。


ちなみに、①の時点で縦軸V(t)横軸tのグラフをイメージすれば、グラフ上の2点（t,f(t))と(t+Δt,f(t+Δt))の平均の変化率（2点を結ぶ直線の傾き）が-a√h(-k√h)になるという事が分かりますよね。
これは、この2点間の間隔（水平方向にΔｔ）は変動するが、その間隔（水平方向の距離）に関わらず2点を結ぶ直線の傾きが-a√h(-k√h)になるという事。
従ってΔｔ＝１とすれば、問題文の１，２行目の条件(グラフ上では2点間の水平方向の距離が1秒のときの2点を結ぶ傾き）を表すことになるし、グラフ上の2点間の距離を限りなく近づけてΔ→0とすれば、結論dV/dt＝−k√h（グラフ上では2点間の距離を０にして時刻ｔにおけるグラフの傾き）を表すという事がみえてきませんか。

No.4 回答者： sunmail 回答日時： 2018/12/13 21:32

コップ一杯呑めたら有り難いです。

No.3 回答者： asano_nagi 回答日時： 2018/12/12 19:35

その疑問はまっとうですし、正しいです。

実際、問題の文を素直に読むと、「水の深さって、1秒間のうちのどの時の深さ？」と突っ込みたくなります。

ただ、例えば、「速度は進んだ距離÷かかった時間」などの表現がみられるように、（短時間の）平均と瞬間の値は、厳密に区別せずに使われることも、ままあります。

No.1 回答者： think2nd 回答日時： 2018/12/12 12:39

自然に考えてはどうでしょうか?

V(t)とV(t+Δt)ではどちらが大きいですか?
　tの時刻からt+Δtの時刻までに、水は、h(t)の深さからh(t+Δt)の深さに変化しますがその時、流出量が1秒間に√h(t)に正比例するのですから
比例定数をkとすると、1秒間でk√(t)の割合で流出しますから　ΔtではΔtk√(t)流出します。
だから
　　V(t)-V(t+Δt)=Δtk√(t)
　変形して-(V(t+Δt)-V(t))/Δt=k√(t)
　Δt→0とすれば
　　　　dV/dt=-k√h(t)
　で時刻tにおける流出量の変化の割合じゃないでしょうか。
　1秒間と何が違うか意味不明です
　　ふつう水圧がかかりますから水量は正比例しませんよね。おそらく上からポンプで吸い上げて流出してるんでしょうね。