2変数関数の極限がない場合、グラフで言うとどのようなイメージになるのでしょうか？ 例）z=（xy）^

2変数関数の極限がない場合、グラフで言うとどのようなイメージになるのでしょうか？

例）z=（xy）^2/（x^4+y^4）
というグラフの(x,y)→(0,0)の極限は、様々な値を取る、極限がありません。

こういうのはどういうイメージなんですか？
(x,y)=(0,0)では、z軸を通る平行な平面ということですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/10/07 16:55

極座標で

　　x = r cosθ, y= r sinθ
と表すと、
　　z = ((cosθ)(sinθ))^2 / (cosθ^4 + sinθ^4)
　　= (sin(2θ))^2 / (4 - 2(sin(2θ))^2 )
ですから、zはrと無関係で、θだけで決まる。
　というわけで、θを一つ決めてr→0とやれば、(rは関係ないんですから）z→ (sin(2θ))^2 / (4 - 2(sin(2θ))^2 ) となる。どっち方向から(0,0)に近づくかによってコタエが違うわけです。
　グラフはこんな感じになるっす。

この回答へのお礼

グラフありがとうございます！
全然そんなグラフを想像できていなかったのでめちゃくちゃありがたいです。
すごい感覚的な話なんですが、0<=θ<=2πでは、上の立体的なグラフではそのままzに近づけば山が4つできそうなんですが、下のグラフではなぜ山が2つだけなんですがzの近くで一気に形が変わるんでしょうか？

お礼日時：2021/10/07 19:02

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2021/10/07 20:17

No.3へのコメントについて。

> 0<=θ<=2πでは、上の立体的なグラフではそのままzに近づけば山が4つできそうなんですが、下のグラフではなぜ山が2つだけ

下のグラフは半周分、 0≦θ≦πの範囲だけ描いてあるからですよ。

この回答へのお礼

あ！下にしっかり、3て書かれてますね！すいません。ありがとうございます！

お礼日時：2021/10/07 22:12

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/10/07 17:18

z=(xy)^2/(x^4+y^4)

y=ax
とすると

z
=(ax^2)^2/{x^4+(ax)^4}
=a^2x^4/{x^4(1+a^4)}
=a^2/(1+a^4)
だから

直線
y=ax
上では

z=a^2/(1+a^4)

となります

この回答へのお礼

そうなりますよね！
そうなったんですが、いまいちその式が何を表しているのかが理解できなくて(´；ω；｀)

お礼日時：2021/10/07 19:03

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/07 12:25

x軸上とy軸上では値が z = 0 で、それ以外では

(x,y) が (0,0) に近づくと z は +∞ に近づきます。
原点の上に頂上がある無限に高い山に
切り込みが 4本入っている感じ。

この回答へのお礼

無限になるんですか！(゜o゜;
しかも切れ込みが入るんですね…。
式を見たらそういうのはわからんものですか？

お礼日時：2021/10/07 18:46

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/10/07 10:02

x,y=0 のときは　zは定義されませんので

x≠0 として
　y=0, 0.01, 0.1, 1
のグラフを書けばよい。

あと、yの正負に対して対称、y → ±∞のときは z → ０

この回答へのお礼

あ！確かに定義されないですね。

お礼日時：2021/10/07 18:39