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- 回答日時:
「働く力」を求めて、その力がどのように運動を起こすかを記述する「運動方程式」を立てればよいのです。
力学の超基本問題です。摩擦力は、動摩擦係数を μ' として、動摩擦力は、斜面からの垂直抗力が mg*cosθ を使って
Fm = μ'mg*cosθ
となります。
従って、斜面下方向の働く力は
F = mg*sinθ - Fm = mg*sinθ - μ'mg*cosθ
運動方程式は、物体に働く加速度を a とすると
F = ma
より
mg*sinθ - μ'mg*cosθ = ma
従って
a = g*sinθ - μ'g*cosθ ①
初速度がゼロなので、斜面を落下させ始めてからの時間 t における速さは
v(t) = (g*sinθ - μ'g*cosθ)t ②
斜面上の落下距離は
x(t) = (1/2)(g*sinθ - μ'g*cosθ)t^2 ③
高さ h からの斜面上の距離 L は
L = h/sinθ
なので、これが③になる時間 T を求めると
x(T) = (1/2)(g*sinθ - μ'g*cosθ)T^2 = h/sinθ
より
T = √{ 2h/[sinθ(g*sin(θ) - μ'g*scosθ] }
このときの速さは、これを②に代入して
v(T) = (g*sinθ - μ'g*cosθ)T = (g*sinθ - μ'g*cosθ)√{ 2h/[sinθ(g*sin(θ) - μ'g*scosθ] }
= √{ 2h(g*sinθ - μ'g*cosθ)/sinθ }
= √{ 2h(g - μ'g*cosθ/sinθ) }
= √{ 2h(g - μ'g/tanθ) } ④
(1) より、斜面がなめらかな場合の速さ v は
mgh = (1/2)mv^2
より
v = √(2gh)
なので、④がこの 1/2 ということは
√{ 2h(g - μ'g/tanθ) } = v/2 = √(gh/2)
よって
2h(g - μ'g/tanθ) = gh/2
→ 1 - μ'/tanθ = 1/4
→ μ' = (3/4)tanθ
従って、動摩擦力は
Fm = μ'mg*cosθ = (3/4)tanθ *mg*cosθ = (3/4)mg*sinθ
選択肢では 「c」です。
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