円環の体積 断面積が半円の内側の場合 の 体積 の 求め方

参考 https://oshiete.goo.ne.jp/qa/5811244.html

上記のページにて、断面積が、外側の180°半円 の場合の式、V＝(π^2)(r^2)R＋(4/3)πr^3 が
記載されていましたが、理論が理解出来ませんでした。

内側の180°半円 の 場合の公式は、どうなるでしょうか？

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/08 10:39

軸を回転の中心とした回転体の体積を積分で求める方法については理解されていますか？

それが理解できていないようなら、ドーナツの体積の前にそちらを勉強してからでないと、きついと思います。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/02/08 11:17

その「円環」の中心の「軸」からの半径を R、断面円の半径を A とすれば、

・「軸」周りの角度 θ に対する微小角度 θ～θ+dθ（θ は特定の位置を θ =0 とする）
・「断面円」の中心周りの角度 φ に対する微小角度 φ～φ+dφ（φ は円環の中心と軸とを結ぶ直線を φ =0 とする）
・「断面円」の中心からの半径 r に対する微小厚さ r～r+dr
で囲まれた微小立体部分の体積は
・「断面円」上の断面積：dr ･ rdφ
・その断面積部分の「円環の厚さ」：(R - r･cosφ)dθ
なので
　dV = dr ･ rdφ ･ (R - r･cosφ)dθ
　　 = r(R - r･cosφ)dr･dθ･dφ

あとは、これを
・円環全体なら、r：0～A, φ：0～2パイ, θ：0～2パイ　で積分
・円環の外側半円なら、r：0～A, φ：(1/2)パイ～(3/2)パイ, θ：0～2パイ　で積分
・円環の内側半円なら、r：0～A, φ：-(1/2)パイ～(1/2)パイ, θ：0～2パイ　で積分
すればよいだけです。

外側半円なら
Vo = ∫[(1/2)パイ～(3/2)パイ]dφ ･∫[0～A]dr ･∫[0～2パイ] {r(R - r･cosφ)}dθ
　= 2パイ∫[(1/2)パイ～(3/2)パイ]dφ ･∫[0～A]{r(R - r･cosφ)}dr
　= 2パイ∫[(1/2)パイ～(3/2)パイ][ (R/2)r^2 - (cosφ)r^3 /3 ][0～A] dφ
　= 2パイ∫[(1/2)パイ～(3/2)パイ][ (R/2)A^2 - (cosφ)A^3 /3 ]dφ
　= 2パイ[ (R/2)A^2 φ - (A^3 /3)sinφ ][(1/2)パイ～(3/2)パイ]
　= 2パイ{ (R/2)A^2 (3/2)パイ + (A^3 /3) - (R/2)A^2 (1/2)パイ + (A^3 /3) }
　= (パイ)^2 RA^2 + (4/3)パイA^3

A を r と書き換えれば、ご質問の式と一致しますね。

ということは、内側半円ならφの積分範囲が変わるだけなので
Vi = 2パイ∫[-(1/2)パイ～(1/2)パイ][ (R/2)A^2 - (cosφ)A^3 /3 ]dφ
　= 2パイ[ (R/2)A^2 φ - (A^3 /3)sinφ ][-(1/2)パイ～(1/2)パイ]
　= 2パイ{ (R/2)A^2 (1/2)パイ - (A^3 /3) - (R/2)A^2 (-1/2)パイ + (-A^3 /3) }
　= (パイ)^2 RA^2 - (4/3)パイA^3
かな。

ちなみに、円環全体なら、これまたφの積分範囲が変わるだけなので
V = 2パイ∫[0～2パイ][ (R/2)A^2 - (cosφ)A^3 /3 ]dφ
　= 2パイ[ (R/2)A^2 φ - (A^3 /3)sinφ ][0～2パイ]
　= 2パイ{ (R/2)A^2･2パイ - 0 - (R/2)A^2･0 + 0 }
　= 2(パイ)^2 RA^2
かな。Vo + Vi に一致しますね。

同じようにやれば「上側半円」(=「下側半円」）も計算できますね。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/02/08 12:56

別解だけど

半円の重心は円の重心から {4/(3π)}rの距離にある。
証明はここ。わりと簡単。
https://mathwords.net/hanenjushin

これとパックスギュルダンの定理を使うと
体積は瞬時に計算できます。

パックスギュルダンの定理
平面の面積×回転する平面の面積の重心の軌跡の長さ=回転体の体積。