二項定理を用いて、つぎのことを示せ。 x>0のとき（1+x)のn乗>1+nx ただし、nは２以上の自

二項定理を用いて、つぎのことを示せ。
x>0のとき（1+x)のn乗>1+nx ただし、nは２以上の自然数
この問題を解いてみたのですが、これであっていますか？

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2019/02/20 10:17

二項定理を使えば（No.1で教えてもらった式に従って）nが0,1の場合も含めてどんな自然数nについても

　　(1+x)^n = 1 + nx + ....
という格好になることがわかる。でも、これだけでは証明になっていません。もうひとつ、「n≧2のとき、この式の"...."の部分は正の値を持つ」ということを証明する必要があります。（実際、n=0とn=1 の場合には　
　　(1+x)^n = 1+nx
になります。すなわち n=0とn=1 の場合には"...."の部分が0である。だから、問題の定理が成り立つのはn≧2の場合だけです。）
　この証明には、
　「どんなn, どんな k についても、n≧2かつn≧k≧2 ならば (nCk)(x^k) ＞0 である」
という命題を証明すれば十分ですね。「nCkは何を意味するか」ということさえわかっていればチョー簡単。
（「十分」というのは、「どんなn, どんな k についても、n≧2かつn≧k≧2 ならば (nCk)(x^k) ＞0 である」 は「n≧2のとき、この式の"...."の部分は正の値を持つ」の十分条件になっているからです。このことも、頑張って理解してね。）


　ところで（ご質問の趣旨とはちょっとはずれまずが）二項定理をあからさまに使わない証明もできます。
(1)　　n=2のとき、「どんなxについても、x>0 ならば (1+x)^n > 1+nx」 が成り立つ。
という命題は、ご質問にお書きの n=2の場合の証明によって正しいとわかっている。そこでさらに
(2)　　あるnについて、「どんなxについても、x>0ならば(1+x)^n > 1+nx 」が成り立つとき、「どんなxについても、x>0のとき(1+x)^(n+1) > 1+(n+1)x 」が成り立つ。
という命題を証明すれば、数学的帰納法によって
(3)　　どんなx, nについても、「n≧2かつx>0ならば(1+x)^n > 1+nx」 である。
ということが言える。

　(2)を書き換えると
　　どんなxについても、「(x>0 かつ (1+x)^n > 1+nx) ならば ((1+x)^n)(1+x) > (1+nx)+x」である
です。これもご自分で証明できるのではないかな？

No.2 回答者： Dr-Field 回答日時： 2019/02/17 19:01

nは２以上の自然数　であれば、二項定理より (1＋x)^n＝nC0・1^n・x^0 ＋ nC1・1^(n-1)・x^1 ＋・・＋ nCk・1^(n-k)・x^k ＋・・＋ nC(n-1)・1^1・x^(n-1) ＋ nCn・1^0・x^n はすぐに言ってもよい。

No.1 回答者： Dr-Field 回答日時： 2019/02/16 20:08

nは2以上の自然数なので、n＝2の時だけの証明ではいけない。

また、二項定理を用いてという条件もあるので、写真の証明では正解とならない。

x＞0の時
二項定理より、(1＋x)^n＝nC0・1^n・x^0 ＋ nC1・1^(n-1)・x^1 ＋・・＋ nCk・1^(n-k)・x^k ＋・・＋ nC(n-1)・1^1・x^(n-1) ＋ nCn・1^0・x^n
＝1・1・1＋n・1・x＋・・＋nCk・1^(n-k)・x^k＋・・n・1・x^(n-1)＋1・1・x^n
＝1＋nx＋・・・n・x^(n-1)＋x^n
＞１＋nx
以上より、(1＋x)^n＞１＋nx が証明された。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
問題文にnは2以上の自然数とありますが、それは関係なく、使わないということですか？

お礼日時：2019/02/16 21:23