加法定理の代数的な証明

三角関数の加法定理の証明は、幾何学的な証明によってされているのを見かけることはあるのですが、加減乗除・根の開閉などの代数的な方法で証明をされているのを見かけたことがありません。勿論、幾何学的な証明でも一部代数的な証明を用いてるのですが、一切幾何学によらない証明法はないでしょうか。５次方程式じゃあるまいし、実際に幾何学的に証明出来るのだから代数的にも証明出来て欲しいと思います・・・。どなたかご存知の方がいらっしゃったらお願い致します。

No.7 回答者： scale--free 回答日時： 2004/11/25 18:16

こんな方法もあります。

少し難しいかも知れませんが、微分方程式の解の存在と一意性の定理を使って証明できます。

微分方程式
d^2 x /dt^2 = -x (＊)
の解で、
x(0)=0, x'(0)=1 を満たす解を x(t)=sin(t),
x(0)=1, x'(0)=0 を満たす解を x(t)=cos(t)
と定義します。(このような解sin(t), cos(t)は一意に定まる)
微分方程式の一般論から(＊)を満たす解は、
x(t)=x(0)cos(t)+x'(0)sin(t)
と一意に書くことができます。また、
(cos(t))' = -sin(t), (sin(t))' = cos(t)
も定義から導けます。

さて、x(t)=cos(t+s)は微分方程式(＊)を満たし、さらに、
x(0)=cos(s), x'(0)=-sin(s)
です。したがって、微分方程式の解の存在と一意性から、
x(t) = cos(t+s) = cos(s)cos(t)-sin(s)sin(s)
が成立します。これは余弦の加法定理にほかなりません。同様に、正弦の加法定理も証明できます。

代数的な証明といえるかどうかわかりませんが、一切幾何学的な考察は用いていません。微分方程式の一意性定理のみを用いた証明です。どうでしょうか？

No.6 回答者： yaksa 回答日時： 2004/11/25 13:33

普通は、sin(x)は、

exp(ix) ≡ cosx + isinx
（実部と虚部）という定義ではなくて、
sin(x) = (exp(ix)-exp(-ix))/2i
cos(x) = (exp(ix)+exp(-ix))/2
で定義するんだと思います。
exp(z)=Σ( (z^n)/n! )
は任意の複素数zについて絶対収束。
で、rynさんの
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=923624
の＃３より、
exp(z1+z2)=exp(z1+z2)
がなりたつので(絶対収束なんで証明もこれでＯＫ)、
ちょっと計算すると、sin(x)の加法定理はでてきます。

あと、sin(x)を複素関数sin(z)の実数への制限ではなくて、純粋に実数関数として定義する流儀として、
まず逆関数を定積分
arcsin(x) = ∫_{0,x} 1/√(1-y^2) dy
で定義してこれから三角関数を定義する方法もあります。この定義でも加法定理の証明ができると思う。。やってないけど。

No.5 回答者： infinity40-100 回答日時： 2004/11/25 13:02

過去に似たような質問をしました。

参考になるかどうかわかりませんが、一応お知らせまで。
QNo.923624

No.4 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2004/11/25 03:54

(x0,y0)を反時計方向にθ回転して得られる(x1,y1)への写像は、行列で

｜x1|-|cosθ　-sinθ||x0|
｜y1|-|sinθ 　cosθ||y0|
で表せる。
α回転した後β回転させる写像は
|cosβ　-sinβ||cosα　-sinα|
|sinβ 　cosβ||sinα 　cosα|
で表せるから
展開すると
|cosαcosβ-sinαsinβ -sinαcosβ-cosαsinβ|
|cosαsinβ+sinαcosβ -sinαsinβ+cosαcosβ|
になる
ところでこれは、
θ=α＋βとしたときのθだけ回転させる時の写像と比べると
|cos(α＋β)　-sin(α＋β)|
|sin(α＋β) 　cos(α＋β)|
と同じであるから
sin(α＋β)=cosαsinβ+sinαcosβ
cos(α＋β)=cosαcosβ-sinαsinβ

No.3 回答者： ryn 回答日時： 2004/11/24 23:18

1さんの回答にある

　exp(iθ) = cosθ + i*sinθ
という関係式は，
テーラー展開する際に三角関数の微分をすることになるので
そこで加法定理を使ってしまっています．

幾何学的証明を使わない方法は，参考URLの私の回答にありますが，
数学の専門家から見るとボロがあるかもしれません．

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=923624

No.2 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/11/24 23:11

三角関数は変数を角度に頼って定義しています。

だからその証明については少なからず図形的に
なっても仕方がないことかと思います。
回転を使うのはそれなりに代数的だとは思います
けどね。

図形を使わずにという注文でしたらまず三角関数を
どのように定義されますか？

微積分で級数を使って定義するのなら
e＾iθ＝cosθ＋isinθ
を使えば簡単に示すことが出来ます。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2004/11/24 22:56

こういうのはいかがでしょうか。

z=x+i*y（x,yは実数、iは虚数単位√-1）のとき、
　exp(z)=exp(x+i*y)=exp(x){cos(y)+i*sin(y)}
となることを使います。

今、z1=x1+i*y1, z2=x2+i*y2（x1, x2, y1, y2は実数、iは虚数単位√-1）とし、exp(z1+z2)を考える。

exp(z1+z2)=exp{(x1+x2)+i*(y1+y2)}
=exp(x1+x2)*{cos(y1+y2)+i*sin(y1+y2)}・・・(1)

exp(z1+z2)=exp(z1)*exp(z2)
=exp(x1+i*y1)*exp(x2+i*y2)
=exp(x1){cos(y1)+i*sin(y1)}*exp(x2){cos(y2)+i*sin(y2)}
=exp(x1+x2)[{cos(y1)*cos(y2)-sin(y1)*sin(y2)}+i*{sin(y1)*cos(y2)+cos(y1)*sin(y2)}]・・・(2)

(1)=(2)なので、実部、虚部をそれぞれ比較して、
cos(y1+y2)=cos(y1)*cos(y2)-sin(y1)*sin(y2)
sin(y1+y2)=sin(y1)*cos(y2)+cos(y1)*sin(y2)
となる。