
A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
lim{x→0} sin(x)/x = 1 の証明にsinの導関数を使うわけにはいかないな。
π/2 > x > 0 のとき 1 > sin(x)/x > cos(x)
をいっそ幾何学で証明するかな。(sin(x), cos(x)の定義がどうなってるのかがこの問題文だけでははっきりしない、ということを逆手に取るわけ。)
No.4
- 回答日時:
東大の問題ですよね?
まあ
とりあえず和は積にまとめましょう
そしたらlimit x➡︎0 sinx/x=1を使えば瞬殺されるでしょう(sin-x=-sinxの逆も使う)
No.3
- 回答日時:
連続性を用いた部分ってのは、
lim[h→0]sin(2h)=0, lim[h→0]cos(2h)+1=2
の部分じゃないかと思うけどね。
ところで、lim[θ→0](sinθ)/θ=1 の証明を添えないで
これを証明したことになるのかな?
No.2
- 回答日時:
通常、以下の変形をして (sin2x)'=2cos2x を導く。
{sin2(x+h)-sin2x}/h=2・〔{sin2(x+h)-sin2x}/2h〕
ところで、{sin2(x+h)-sin2x}/2h
={sin(2x+2h)-sin2x}/2h
={sin2x・cos2h+sin2h・cos2x-sin2x}/2h
={sin2x・cos2h-sin2x+sin2h・cos2x}/2h
=sin2x・(cos2h-1)/2h+sin2h・cos2x/2h
h→0の時、(cos2h-1)/2h=0 ※ かつ sin2h/2h=1 より
続き=sin2x・0+1・cos2x=cos2x
だから、{sin2(x+h)-sin2x}/h=2・cos2x
(cos2h-1)/2h=0の理由:(cos2h-1)/2h=(cos2h-1)・(cos2h+1)/2h・(cos2h+1)
={(cos2h)^2-1}/2h・(cos2h+1)
=(sin2h)^2/2h・(cos2h+1)
=(sin2h/2h)・(sin2h)/(cos2h+1)
ここで h→0 とすると、(sin2h/2h)=1、sin2=0、cos2h+1=2より
続き=1・0/2=0
連続性については正直よくわからない。
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