・x=e^tの条件は最後の解に代入するときだけしか使わないのか ・（2）の解はy=Ax^-2+(B+

・x=e^tの条件は最後の解に代入するときだけしか使わないのか
・（2）の解はy=Ax^-2+(B+Clnx)xであっているのか
以上の質問の解答お願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/10 18:30

x = e^t で変数変換すると、

dx/dt = (d/dt)e^t = e^t = x,
dy/dt = (dy/dx)(dx/dt) = y'x,

d^2y/dt^2 = (d/dt)(y'x)
= {(d/dx)(y'x)}(dx/dt) = {y''x + y'}x
より、
y'x^2 = d^2y/dt^2 - y'x = d^2y/dt^2 - dy/dt,

d^3y/dt^3 = (d/dt)(y''x^2 + y'x)
= {(d/dx)(y''x^2 + y'x)}(dx/dt)
= {y'''x^2 + 3y''x + y'}x
より、
y'''x^3 = d^3y/dt^3 - 3y''x^2 - y'x
= d^3y/dt^3 - 3(d^2y/dt^2 - dy/dt) - dy/dt
= d^3y/dt^3 - 3d^2y/dt^2 + 2dy/dt.

これらを使って、
(1)は d^2y/dt^2 - 2dy/dt - 3y = e^t,
(2)は d^3y/dt^3 + 3d^2y/dt^2 + 2dy/dt - 4y = 0.
と変換されます。
定係数線型微分方程式になったから、
ずいぶん「簡単になった」んじゃないでしょうか。

後は、教科書に書いてある手順で
型どおりの計算です。

この回答へのお礼

ありがとうございます できそうです！

お礼日時：2019/03/10 18:32

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2019/03/10 18:04

既に回答が付いてるので蛇足になるが・・

--x=e ͭ の条件は最後の解に代入するときだけしか使わないのか--
→与えられた微分方程式を変数変換(x→t)してtに関する微分方程式の特性方程式を導く際にも利用する・・!

--（2）の解はy=Ax^-2+(B+Clnx)xであっているのか--
→#1氏の回答にある様に↑は間違い・・!

x³y''' + 6x²y'' + 4xy' - 4y = 0
をtに関する微分方程式に焼き直すと特性方程式
r³ + 3r² - 4 = 0
が得られる・・!

これから
y = Ax+(B+C*lnx)/x²　　(A,B,Cは積分常数)
・・を得る!

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https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11015351.html
の当方の回答で
(2) ∫₍s₎{xyz}dS = 4
としたが、計算ミス(0≤z≤3を0≤z≤2と見間違いてしまった!)
∫₍s₎{xyz}dS = 6
・・に訂正しておく!

この回答へのお礼

前回の質問に引き続き、今回も解答していただきありがとうございます。xのまま解を出すことはできたんですが、tに変換してから計算する方法をくわしく教えていただければうれしいです。

お礼日時：2019/03/10 18:16

No.1 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/03/10 15:09

2) y(t)=(A+B*t)*e^(-2t)+C*e^t. が解ですからｘにもどして、

y(x)={A+B*ln(x)}/x^2 + C*x.
となります。

この回答へのお礼

さきにx=e^tを代入して計算するんですね。計算もその方が簡単になりますか？

お礼日時：2019/03/10 15:48