二次式の性質について

16m^2-12m+1-24nが平方数になるmが存在しないようなnは有限個しか存在しない
↑を証明していただけないでしょうか？
急ぎです。証明の内容も教えていただけるとありがたいです。

質問者からの補足コメント

• すいません。m、nは自然数内でした。

    補足日時：2019/03/14 20:52

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/03/13 20:51

m=-6n

とすれば
16m^2-12m+1-24n
=16(-6n)^2-12(-6n)+1-24n
=(24n)^2+72n-24n+1
=(24n)^2+48n+1
=(24n+1)^2
が平方数になる

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/03/20 21:01

自然数nに対して

16m^2-12m+1-24n=k^2となる整数m,kがあるとする
↓両辺に4をかけると
64m^2-48m+4-96n=4k^2
(8m-3)^2-5-96n=4k^2
↓両辺に96n+5-4k^2を加えると
(8m-3)^2-4k^2=96n+5
(8m-3)^2-(2k)^2=96n+5
(8m-3+2k)(8m-3-2k)=96n+5
96n+5を素数とすると
{(8m-3+2k=96n+5)&(8m-3-2k=1)}
又は{(8m-3-2k=96n+5)&(8m-3+2k=1)}
を仮定すると
2(8m-3)=96n+6
8m-3=48n+3
8m=48n+6
4m=24n+3
となって矛盾するから
{(8m-3+2k=-96n-5)&(8m-3-2k=-1)}
又は{(8m-3-2k=-96n-5)&(8m-3+2k=-1)}
2(8m-3)=-96n-6
8m-3=-48n-3
8m=-48n
∴96n+5が素数ならば16m^2-12m+1-24nが平方数になるmは
m=-6n
だけである

96n+5が素数となるような自然数nが無限に存在するならば,
16m^2-12m+1-24nが平方数になる自然数mが存在しないような
自然数nは無限に存在する