z=r(cosθ+isinθ) (r＞0)とおくと ド・モアブルの定理より z^8=r^8(cos8

z=r(cosθ+isinθ) (r＞0)とおくと
ド・モアブルの定理より
z^8=r^8(cos8θ+isin8θ)とできるそうなのですが、どうやって、r(cosθ+isinθ)を図形のでの幾何学的に表すとどのように表せますか？
また、r(cosθ+isinθ)を8乗するとr^8(cos8θ+isin8θ)と導ける理由を図形を用いた幾何学的に説明していただけないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• ちなみに、なぜzはa+bではなく、a+bi(複素数)として、置いたのでしょうか？
  何を知るために虚数iを考慮した複素数a+biを入れて作られたのでしょうか？

    補足日時：2019/03/17 18:17

• ありがとうございます。
  ちなみに、なぜaとbを一つの変数zと置いたのでしょうか？それにより何がわかるのでしょうか？

    補足日時：2019/03/18 19:41

• ありがとうございます。
  ちなみに、「z₃=z₁×z₂という式は、
  z₂=r₂(cosθ₂+ｉsinθ₂)＝r₂ exp(ｉθ₂)のとき、z₁×z₂という式は、
  z₁を角θ₂だけ回転し、長さをr₂倍したものを表す。」となぜわかったのでしょうか？
  式を展開した事でわかったのでしょうか？
  どの部分からそうわかったのか気になります。
  
  また、最初のグラフに関してa,bを変えずにzのみを使って書いたグラフが2枚目の画像でしょうか？

    補足日時：2019/03/19 00:22

• ありがとうございます。
  わかりにくい質問で
  すいません。
  なぜ、(r(cosθ+isinθ))^8をただ展開すればよいのに、以下のようにz₁= a₁+b₁i、z₂= a₂+b₂i、z₃= a₃+b₃i＿＿②とする。
  a₁=r₁cosθ₁、b₁=r₁sinθ₁＿＿③
  a₂=r₂cosθ₂、b₂=r₂sinθ₂＿＿④
  a₃=r₃cosθ₃、b₃=r₃sinθ₃＿＿⑤とz,a,r,θに番号を付けて展開する必要があるのかわかりません。
  番号を付けずに(r(cosθ+isinθ))^8を展開する方法はあるのでしょうか？

    補足日時：2019/03/20 00:11

• どうもありがとうございます。
  忘れていました。
  a+ibは一定の変数ではなく、複素数であるため、
  それぞれ異なる複素数(a+ib)を8個掛けていることを表すのが(cosθ+isinθ)^8なのですよね？
  だとしたら、私は複素数を正しく理解できていませんでした。すいません。

    補足日時：2019/03/20 15:42

• 度々すいません。
  (a+b)^nを展開する際は
  (a+b)×(a+b)×(a+b)×...(a+b)となりますが、
  複素数(a+ib)をn乗する場合、(a+ib)^nを展開する場合は
  (a+ib)×(a+ib)×(a+ib)...×(a+ib)ではなく、
  (a1+ib1)×(a2+ib2)×(a3+ib3)...×(an+ibn)となるのか、わからないため質問していました。
  (a+b)と(a+ib)では、ただの変数と虚数を含む複素数という違いがありますが、展開する事において、なぜ虚数を含む複素数の方は同じa+ibをn回掛けるのに、1や2など番号をつけるのかわかりません。単純に見やすいためでしょうか？
  番号をつけて展開する事で過程の式の展開が表せるためでしょうか？番号をつけないと展開がわかりにくいとか出来ないのでしょうか？

    補足日時：2019/03/20 16:18

• majimelon37さん、回答してくださりありがとうございます。
  あの、(r(cosθ+isinθ))^8を番号を振らずに展開するとどのような過程を経てr^8(cos8θ+isin8θ)となるのでしょうか？
  過程の部分を書いて頂けないでしょうか？

    補足日時：2019/03/20 21:19

• 度々すいません。
  今回のような

    補足日時：2019/03/23 03:19

• すいません。今回のようなドアモブルr cosθとri sinθを足したものを自乗する物は何を知るためにr cosθとri sinθを足して自乗するのでしょうか？

    補足日時：2019/03/23 03:22

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/03/16 22:02

>r(cosθ+isinθ)を図形のでの幾何学的に表すとどのように表せますか？

偏角θは倍数となりrは指数的に変動するので、複素平面にプロットしたときは、反時計回りの渦巻き状になるでしょう。

r(cosθ+isinθ)を8乗するとr^8(cos8θ+isin8θ)と導ける理由を図形を用いた幾何学的に説明していただけないでしょうか？

幾何学的に解くのは難しいと思いますし、あまり意味はないと考えます。
偏角θの倍数になるのは、ド・モアブルの定理から言える特徴であって証明ではないのですから。
あと、rの指数が増えるのは自明と言えます。

ド・モアブルの定理の証明は、オイラーの等式、数学的帰納法等で証明するほうが手っ取り早いですし、理解が早いと思います。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/16 20:10

ド・モアブルの定理を示すなら、オイラーの等式 e^(iθ) = cosθ + i sinθ

によるのが簡明だろうと思いますが...

幾何学的にというのであれば、複素数の乗法を複素数平面上で幾何的に
とらえたらいいのではないでしょうか。(a+ib)(x+iy) = (ax-by)+i(bx+ay) より、
この積は、点 (x,y) に回転とスカラー倍の合成を表す行列
a　-b
b　a
を掛ける操作と対応しています。z = r(cosθ + i sinθ) を 8 回掛けることは、
r を 8 回掛けることと 8θ の回転に対応するわけです。