この問題の解き方をおしえてください！

この問題の解き方をおしえてください！

No.2 ベストアンサー 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/03/26 07:44

f(x+y*i)=u(x, y)+i*v(x, y) とすると、

u(x, y)=sin(x)*cosh(y) ですから、Cauchy-Riemann の方程式より、
v(x, y)=cos(x)*sinh(y)+c, (c : 実数) を得るから、
f(z)=sin(z)+c*i.
2) f(z)=0 より、e^(iz)=c±√(c^2+1), (右辺はつねに実数).
よって、
z=-i*log(c+√(c^2+1)=-i*ln(c+√(c^2+1), or
z=(1/i)*log{-1/(c+√(c^2+1))}=(2n+1)pi+i*ln(c+√(c^2+1)).

この回答へのお礼

Re(f(x,y))=sinxcoshy=i*sin(z*)sinz(z*はzの複素共役）
Im(f(x,y))=cosxsinhy+c=-icos(z*)sinz+c
f(z)=i*sin(z*)sinz+cos(z*)sinz+c
=sinz(i*sin(z*)+cos(z*))+c
=sinz(e^iz*)+c
となって出してもらった解答と同じになりません。式変形で間違っているところ教えてほしいです！

お礼日時：2019/03/26 08:55

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/26 19:36

あ、ほんとだ。

∂Im(f) = (cos x)(sinh y) + (何かxの関数),
∂Im(f) = (cos x)(sinh y) + (何かyの関数)　から得られるのは、
∂Im(f) = (cos x)(sinh y) + (実定数)　だねえ。
ミスった。正しくは、
f(x+iy) = (sin x)(cosh y) + i(cos x)(sinh y) + iC　(ただし C は実定数) か。

f(z) = 0 ⇔ ( sin x = 0, (cos x)(sinh y) = -C ).
sin x = 0 は x = nπ, nは整数 だが、
n が偶数のとき、cos x = 1 から sinh y = -c,
n が奇数のとき、cos x = -1 から sinh y = c　となる。
f(z) = 0 ⇔ z = nπ + i (sinh^-1 C)(-1)^(n+1), nは整数.


＞f(z)に式変形して

三角関数と双曲線関数の関係
sin iy = (e^iiy - e^-iiy)/(2i) = (-i)(e^-y - e^y)/2 = i sinh y,
cos iy = (e^iiy + e^-iiy)/2 = (e^-y + e^y)/2 = cosh y
を使って、
f(z) = f(x+iy)
= (sin x)(cosh y) + i(cos x)(sinh y) + iC
= (sin x)(cos iy) + (cos x)(sin iy) + iC
= sin(x+iy) + iC
= (sin z) + iC.

この回答へのお礼

式変形とてもわかりやすいです。
ありがとうございます。
（2）は、x,yごとに算出する方法を知れて納得できました。今回はe^iz=c±(c^2+1)^1/2の方が自分で設定する定数が少ないので、そちらを採用したいとおもいます。丁寧な解説ありがとうございます！

お礼日時：2019/03/27 17:34

No.3 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/03/26 12:57

z の共役複素数をconj(z)と書くことにします。

f(x+y*i)=u(x, y)+i*v(x, y) として、
u(x, y)=sin(x)*cosh(y) が与えられていてこれが、
conj(i)*sin(conj(z))*sin(z)=-i*sin(x-y*i)*sin(x+y*i)=(i/2)*{cos(2x) - cos(2y*i)}
=(i/2)*{cos(2x) - (e^(-2y)+e^(2y))/2} ..... に等しくなりませんよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。どっかで僕計算ミスしてますね

お礼日時：2019/03/27 17:08

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/26 00:48

(1)

f が正則であるから、コーシー・リーマンの条件
∂Re(f)/∂x = ∂Im(f)/∂y,
∂Re(f)/∂y = -∂Im(f)/∂x が成り立つ。

Re(f) = (sin x)(cosh y) であれば、
∂Im(f)/∂x = -∂Re(f)/∂y = -(sin x)(sinh y),
∂Im(f)/∂y = ∂Re(f)/∂x = (cos x)(cosh y) である。

積分すれば
∂Im(f) = (cos x)(sinh y) + (何かxの関数),
∂Im(f) = (cos x)(sinh y) + (何かyの関数) だから
∂Im(f) = (cos x)(sinh y) と判る。
すなわち、
f(x+iy) = (sin x)(cosh y) + i(cos x)(sinh y).

(2)
f(z)=0 ⇔ (sin x)(cosh y) = (cos x)(sinh y) = 0
⇔ sin x = sinh y = 0　　; 実coshは零点を持たない
⇔ x = nπ　(nは整数), y = 0
⇔ z = nπ　(nは整数)

この回答へのお礼

コーシー・リーマンの条件を使うんですね。なるほどです
f(z)に式変形していただいたりできますか？複雑で困ってます。よろしくお願いします。

お礼日時：2019/03/26 09:00