三角関数の公式

三角関数の公式でsin,cosの2乗の和は1に等しいって言うのがありますが
以下の証明って知られてますか?
0=0 よりxを実数として
2sinxcosx-2sinxcosx=0 積分定数をCとしてxについて積分すると
(sinx)^2+(cosx)^2=C
x=π/4を代入すると
C=1
よって
(sinx)^2+(cosx)^2=1

質問者からの補足コメント

• 

  そういえば上の証明ではxが複素数の場合も証明できてる気がします...(たしか複素数の三角関数はマクローリン展開もしくはテイラー展開で定義できましたし複素数の積分も同様にできましたよね)

    補足日時：2019/03/31 22:26

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/01 08:12

たいへんまっとうな証明だと思います。

特に、sin, cos をべき級数によって定義した場合には、
質問の証明がむしろ標準的な方法でしょう。

No.2さんが書いておられるように、基本的な事項の証明は
循環論法に陥り易いので注意が必要ですが、
三角関数のたいていの定義では、
f(θ) = (cosθ)^2 + (sinθ)^2 に対して f'(θ) = 0 から
f(θ) が定数であることを示した部分に循環は生じない気がします。

一抹不安が残るのは、最後に θ = π/4 を代入した点です。
sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2 であることは、どうやって計算しましたか？
この式に現れた √ には、(cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1 の香りがわずかに漂います。
いやいや、可能性があると言っただけで、クロ認定したわけではありません。
でも、検証するには、1/√2 を得た過程を見る必要がありますよね。
θ = 0 でも代入したほうが安心感があったかな？というのが感想です。

この回答へのお礼

なるほど
確かにθ=0のほうが良かったかもしれませんね
もしくはθ=π/2もありかなあ...

お礼日時：2019/04/02 21:53

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/04/01 00:00

なにをどう定義して使っている性質をどのように示しているかがわからんと, #3 でいわれているように循環論法になっている可能性はある.

やってることは中心力のもとで力学的エネルギーが保存されることの証明と同じ.

No.3 回答者： 海月9664 回答日時： 2019/03/31 12:30

任意のxで成り立つような同値変形をしていっているので良いと思います。

ただ(sinx)^2+(cosx)^2=1があまりに基本的な式なので積分のところで循環論法になってるかもしれません。

この回答へのお礼

確かに循環論法かもしれませんね...
ところでNo.1の方はx=π/4だけしか証明してないと言ってますが
積分法をよく知らない方なのでしょうか
逆に不安になります

お礼日時：2019/03/31 22:22

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/03/31 08:42

不定積分の定数Ｃは初期条件で得ます。

ｘの初期は何ですか。
ｆ（ｘ）＝(sinx)^2+(cosx)^２なる関数を考えて
微分すると
df(x)/dx=2sinxcosx-2sinxcosx
=0
からｆ（ｘ）はあらゆるｘで定数と分かります。
そこで、x=π/4を代入するとその定数はｆ（π/4）＝１と分かります。
従って、ｆ（ｘ）＝(sinx)^2+(cosx)^２＝１と証明できたことになります。

この回答へのお礼

それって私の証明と実質的には同じですよね?

お礼日時：2019/03/31 22:18

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/03/30 22:48

全ての実数xにおいて1であることを証明しないといけません。

質問の内容は、x=π/4のときにC=1を示しているだけで、証明になっていません。
そもそも、その積分自体意味がありません。

この回答へのお礼

積分「定数」ですから一定ですよね?

お礼日時：2019/03/31 22:29