数学の質問で、写真の式の収束・発散を調べろ。収束するならばその値を求めよという問題なのですが解き方を

数学の質問で、写真の式の収束・発散を調べろ。収束するならばその値を求めよという問題なのですが解き方を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/19 00:42

ま、普通にね。

(1)
Σ[n=1…m] r^(n-1) = (1-r^m)/(1-r) から
Σ[n=1→∞] r^(n-1) = lim[m→∞] Σ[n=1…m] r^(n-1) = lim[m→∞] (1-r^m)/(1-r) = (1 - lim[m→∞] r^m)/(1-r).
Σ[n=1→∞] r^(n-1) の収束性は、lim[m→∞] r^m の収束で決まります。
r≦-1, 1<r<1, r=1, 1<r で場合分けすればよいですね。

(2)
1/(√(n+1) + √n) = (√(n+1) - √n)/{(√(n+1) + √n)(√(n+1) - √n)} = √(n+1) - √n から
Σ[n=1…m] 1/(√(n+1) + √n) = Σ[n=1…m] √(n+1) - √n = √(m+1) - 1.
Σ[n=1→∞] 1/(√(n+1) + √n) = lim[m→∞] Σ[n=1…m] 1/(√(n+1) + √n) = lim[m→∞] √(m+1) - 1.
これは、発散しますね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/04/19 00:07

このくらいなら定義に従って処理すればいい.