この問題の小球A,Bの運動について、0s≦t≦20sの間でAとBとの間の距離が最も大きくなるのはいつ

この問題の小球A,Bの運動について、0s≦t≦20sの間でAとBとの間の距離が最も大きくなるのはいつか、解き方を教えてください。
お願いします。
ちなみにその問題の答えは10sで、画像の(2)はAの位置は50mでBの位置は25mで、(3)は20sでAとBの位置は100mです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/04/28 00:09

「0s≦t≦20sの間でAとBとの間の距離が最も大きくなるのはいつか」というのは、画像の中にはない問題ですね？

(1) は、
Ａ：v = 5.0 の水平一直線。
Ｂ：v = at の「原点を通り、右肩上がりの直線」。
この２つの直線は t=10 で交わります。

(2) 加速度、速度、位置（変位）を式で書くと
Ａ：
・加速度：aA = 0 (m/s^2)
・速度　：vA = 5.0 (m/s)
・位置　：xA = 5.0t (m)　　　①
　従って、t=10 (s) のときには xA=50 (m)

Ｂ：
・加速度：aB = a (m/s^2)
・速度　：vB = at (m/s)
　t=10 のときに vB=5.0 (m/s) になるので
　　a = 0.5 (m/s^2)
　従って
　　vB = 0.5t (m/s)
・位置　：xB = (1/2)*0.5t^2 = 0.25t^2 (m)　　　②
　従って、t=10 (s) のときには xB=25 (m)

(3) ＡとＢの間隔は、①と②の差なので
　Δx = xA - xB = 5.0t - 0.25t^2　　　　　③
これが極致をとるのは、(Δt)' = 0 のときで
　(Δt)' = 5.0 - 0.5t = 0
より
　t = 10
のとき。
これは
　(Δt)'' = -0.5 < 0
なので極大です。
Δx の増減表を作れば
　0≦t<10 で単調増加
　t=10 で極大
　10<t で単調減少
なので、t=10 (s) のときに「最大」になります。

ＢがＡに追いつくのは、t<10 で Δx = 0 になるときであり、③より
　5.0t - 0.25t^2 = 0
→　t(5.0 - 0.25t) = 0
t≠0 なので、
　5.0 - 0.25t = 0
より
　t = 20 (s)

ちなみに t=0 は最初にＡもＢも原点から出発するときのことに対応します。

t=20 (s) のとき、①②より
　xA = 100 (m)
　xB = 100 (m)
で、確かに同じ位置になります。