数学の問題です、急ぎで教えてください！ 1.dy/dx=(x-y)/(x+y) 2.dy/dx=(y

数学の問題です、急ぎで教えてください！
1.dy/dx=(x-y)/(x+y)

2.dy/dx=(y-x)/(y+x)

3.y'+y=3e^x y^3

4.y'+y/2=x^2 y^3

よろしくお願いします！

質問者からの補足コメント

• 微分方程式を解いてくださいお願いします

    補足日時：2019/05/19 00:42

No.5 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/24 12:06

２、の回答で、⑥の次の行は

正　左辺は
誤　右辺は
４、の回答で、⑩の次に、次式を追加する。
⑩を②に入れると
y= z^(－1/2)=1/√(2 x²+4x+4+C e^x)＿⑪
となる。

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/24 11:49

１、の最後の式によけいな2乗が入ってしまった。

正　y=xz=x{√(2－1/c²x²)－1}=√(2 x²－1/c²)－x＿⑬
誤　y=xz=x{√(2－1/c²x²)－1}=√(2 x²－1/c²)－x²＿⑬

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/24 05:02

3、y'+y=3e^x y^3＿①

y'+P(x)y=Q(x) y^nの形のときは、y=z^(－1/(n－1))と置く。
n=3だからy=z^(－1/2)＿② と置く。②を微分すると
y’=(－1/2) z^(－3/2) z’ ＿③となる。
②③を①に入れると
(－1/2) z^(－3/2) z’+ z^(－1/2) =3e^x (z^(－1/2))^3
両辺に－2 z^(3/2)をかけると
z’－2 z=－6 e^x＿④
z=ae^x＿⑤とすると解となるので、⑤を④に入れると
ae^x－2ae^x=－6 e^x
からa＝6となり、z=6 e^x＿⑥は一つの特解である。
④の斉次方程式z’－2 z=0＿⑦の解は
z= e^2x＿⑧である。⑥⑧から、zの一般解は⑨となる。
z=6 e^x+C e^2x＿⑨ Cは任意定数。
⑨を②に入れると
y= z^(－1/2)=1/√(6 e^x+C e^2x)＿⑩
となる。
４、y'+y/2=x^2 y^3
やはりy=z^(－1/2)＿② と置く。②を微分すると
y’=(－1/2) z^(－3/2) z’ ＿③となる。
②③を①に入れると
(－1/2) z^(－3/2) z’+ (1/2)z^(－1/2) = x²(z^(－1/2))^3
両辺に－2 z^(3/2)をかけると
z’－z=－2x²＿④
z=a x²+bx+c＿⑤とすると解となるので、⑤を④に入れると
2ax+b－(a x²+bx+c)=－2x²＿⑥
これからa＝2、b=4，c=4とすると⑥を満足するので
z= a x²+bx+c= 2 x²+4x+4＿⑦は一つの特解である。
④の斉次方程式z’－z=0＿⑧の解は
z= e^x＿⑨である。⑦⑨から、zの一般解は⑩となる。
z= 2 x²+4x+4+C e^x＿⑩ Cは任意定数。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/24 03:02

１、1.dy/dx=(x-y)/(x+y)＿①

y=xz＿②と置くとdy/dx=z+x(dz/dx)となる。これと②を①に入れると、
z+x(dz/dx) =(x-y)/(x+y) =(x-xz)(x+ xz)=(1-z)(1+ z)＿③
左辺のzを右辺に移項すると
x(dz/dx)=(1-z)(1+ z) -z={1－z－z(1+ z)}/( 1+ z)=(1－2z－z²)/(1+ z)＿④
左辺にzを含む因子を集め、右辺にxを集めると
(1+ z) dz/(1－2z－z²)=dx/x＿⑤
両辺を積分すると
∫(1+ z) dz/(1－2z－z²)=∫dx/x＿⑥
1+ z=t＿⑦　と置いて置換積分する。dz=dt、1－2z－z²=2－t²
∫tdt/(2－t²)=∫dx/x＿⑧
(－1/2)log(2－t²)=log x+C＿⑨　Cは積分定数
log{1/√(2－t²)}=log(cx)　　log c=C
1/√(2－t²)=cx＿⑩
2－t²=1/c²x²　t²=2－1/c²x²，t=√(2－1/c²x²) ＿⑪
⑦に入れてzを求めると
z=t－1=√(2－1/c²x²)－1＿⑫
②に入れると
y=xz=x{√(2－1/c²x²)－1}=√(2 x²－1/c²)－x²＿⑬

2. dy/dx=(y-x)/(y+x) ＿①
1，と同じようにy=xz＿②と置くとdy/dx=z+x(dz/dx)となる。これと②を①に入れると、
z+x(dz/dx) =(y-x)/(y+x) =(xz -x)/(xz+x)=(z-1)(z+1)＿③
左辺のzを右辺に移項すると
x(dz/dx)= (z-1)(z+1)-z={ z-1－z(z+1)}/( z+1)=－(1+z²)/(z+1)＿④
左辺にzを含む因子を集め、右辺にxを集めると
(1+ z) dz/(1+z²)=dx/x＿⑤
両辺を積分すると
∫(1+ z) dz/(1+z²)=∫dx/x＿⑥
右辺は∫(1+ z) dz/(1+z²)=∫dz/(1+z²)+∫z dz/(1+z²)
=arctan z+(1/2)log(1+z²)となり，右辺はlog x+C、となる。Cは積分定数
arctan z+(1/2)log(1+z²)=log x+C＿⑦となる。
②からz=y/x＿⑧
これを⑦に入れると
arctan (y/x)+(1/2)log(1+ (y/x)²)=log x+C＿⑨となる。
これ以上簡単な式にはできない。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/05/19 00:17

どこにも問題が書かれていないんだけど....