dx/dt＝x^2-3x+2 x（0）＝a この微分方程式の解き方を教えてください。

dx/dt＝x^2-3x+2 x（0）＝a

この微分方程式の解き方を教えてください。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/25 17:19

微分方程式　dx/dt＝x^2-3x+2，初期条件 x(0)=a　を解け

dx/dt＝x^2-3x+2　から
dx/(x^2-3x+2)＝dt
∫dx/(x^2-3x+2)＝∫dt
1/(x^2-3x+2)＝1/{(x－1)(x－2)}=1/(x－2)ｰ1/(x－1)を使うと」
∫dx/{(x－1)(x－2)}＝∫{1/(x－2)ｰ1/(x－1)}＝∫dt
∫dx/(x-2)－∫dx/(x-1)=t+C　Cは定数
= log|x-2|－log|x-1|=t+C
|(x－2)/(x－1)|=ce^t＿＿①
初期条件 x(0)=aより、t=0のとき
|(a－2)/(a－1)|=c　となる。
もし(a－2)/(a－1)≥０＿②なら
(a－2)/(a－1)=c＿＿③
①から　(x－2)/(x－1)=ce^t　両辺に(x－1)をかけて
x－2=(x－1)ce^t
x(1－ce^t)=2－ce^t
x=(2－ce^t)/(1－ce^t)＿④　となる。
②の条件式が、逆なら③で、cの符号が逆になり
x=(2+ce^t)/(1+ce^t)＿⑤　となる。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/23 12:05

f(x)dx/dt = g(t) の形に変形できる式は

「変数分離形」といって、
∫f(x)dx = ∫g(t)dt の計算をするだけです。

dx/dt = x^2-3x+2 なら
∫{1/(x^2-3x+2)}dx = ∫dt でok.
左辺の積分は、
1/(x^2-3x+2) = 1/(x-1)(x-2) = 1/(x-2) - 1/(x-1) から
∫dx/(x^2-3x+2) = ∫dx/(x-2) + ∫dx/(x-1)
= log|x-2| + log|x-1| + (定数) です。
よって、
log|(x-2)/(x-1)| = t+C　(Cは定数) より
(x-2)/(x-1) = ±e^(t+C) を変形して
x = (2 - Ae^t)/(1 - Ae^t)　　; A = ±e^C

A が e^C か -e^C かは a の値によって決まり、
連続した解の途中で切り替わることはありません。
(t,x) = (0,a) を代入して、
a = (2-A)/(1-A) より A = (a-2)/(a-1).