正四面体の内接球の接点は各面の重心である事と、正四面体の頂点から下ろした垂線上に内接球の中心があるの

正四面体の内接球の接点は各面の重心である事と、正四面体の頂点から下ろした垂線上に内接球の中心があるのはなぜですか？
また、正三角錐の場合も同様に内接球の接点は各面の重心である事と、正三角錐の頂点から下ろした垂線上に内接球の中心があるということは成り立ちますか？
ご教授ください！

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/05/26 14:19

イメージとしては以下です

正四面体と外接球（中心をCとする）について、四面体の1つの面（正三角形）の重心Gを球の直径が垂直に貫いているというのは分かりますか？（ちなみに、正四面体の残りの頂点からGを含む正三角形に垂線を下すとき、その垂線の足はGと一致⇔正四面体の頂点⇔中心⇔重心と言う並びで、この3点は同一直線上）
次に、正四面体のサイズは変えないで、外接球の半径を小さくしていきます
すると、やがて球は四面体の内部に収まるわけですが、このときCGの延長（G側への延長）線と球面の交点（⇔交点Pと名付ける)に着目しながら半径を小さくしていってください。
Pにおける球面に接する平面（平面αとする）をイメージすると、半径縮小に伴い、CP⊥αを維持しながら、αはCに近づくことになりますが、「α」平行「Gをふくむ正三角形」なのでやがて、αと「Gをふくむ正三角形」は重なることになります。
つまり、外接球の半径を縮小していくと、やがて、球面がGで接する内接球になるというわけです。
当然ながら、正四面体の他の面でも同じことが言えるので、
正四面体の内接球の接点は各面の重心である
ことになります。

また、前に述べた通り、正四面体の頂点⇔外接球の中心⇔正三角形（四面体の1つの面）の重心は同一直線上（これは頂点から四面体の対にある面におろした垂線でもある）
外接球と内接球は中心が一致しているから、
正四面体の頂点から下ろした垂線上に内接球の中心　という事が言えます

なお、正三角錐と正四面体はおなじ事だと思います

この回答へのお礼

分かりすい説明をありがとうございます。

お礼日時：2019/05/26 15:36