Oを原点とするxy平面において、 直線y＝1の｜x｜≧1を満たす部分をCとする。 (1).C上に点A

Oを原点とするxy平面において、
直線y＝1の｜x｜≧1を満たす部分をCとする。
(1).C上に点A(t .1)をとるとき、線分OAの垂直二等分線の方程式を求めよ。
(2).点AがC全体を動くとき、線分OAの垂直二等分線が通過する範囲を求めよ。

この２題の解き方をご教授お願いします

質問者からの補足コメント

• 酢酸納豆さん y-(1/2)=-t{x-(t/2)}はどこから出てきたのですか？

    補足日時：2018/03/17 19:50

• 微分積分、ベクトル、法線を使わずにできますか？

    補足日時：2018/03/17 20:48

No.4 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2018/03/18 00:09

いかにもどっかの入試問題風だけど、こうすればいい。

(1)
線分OAの傾きは1/tなので、それと直交する直線の傾きは-tであり、線分OAの中点(t/2,1/2)を通るから、求める直線の方程式は、
y=-t(x-t/2)+1/2
∴y=-tx+(1/2)t²+(1/2)

(2)
題意の垂直二等分線の方程式を変形すると
t²-2xt+1-2y=0　※
となり、tの範囲を考えると、このtの2次方程式が1≦|t|の範囲に少なくとも一つの解を持てばいい。

その範囲を直接求めるのは面倒なので、xy平面全体から、以下の2領域を除くことを考える。

(i)※が実数解を持たない。
(ii)※が実数解を持つ(2つ)が、2つとも|t|<1の範囲である。

(i)について
※の判別式をDとおくと、D/4=x²-(1-2y)<0より、y<(-1/2)x²＋(1/2)　①

(ii)について
※の判別式をDとおくと、D/4=x²-(1-2y)≧0より、y≧(-1/2)x²＋(1/2)　②
※の左辺をf(t)とおくと、f(-1)>0、かつ、f(1)>0。つまり、y<x+1かつy<-x+1　③

以上により、求める範囲は、xy平面全体から、①と（②かつ③）を除いた部分。

この回答へのお礼

1番分かりやすかったです。ありがとうございました

お礼日時：2018/03/18 20:00

No.5 回答者： cruelman 回答日時： 2018/03/18 11:54

(1)の別の解き方

垂直二等分線は二点からの距離が等しい点の集合です。
これを利用します。
求める直線上の点をP(X,Y)とします。
OP=AP
の関係が成り立つので三平方の定理から等式を立てて整理すると
2tx+2y-(1+t^2)=0
の式が得られます。これが答え。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2018/03/18 19:59

No.3 回答者： cruelman 回答日時： 2018/03/17 20:19

(2)は

y≧x+1(-1≦x＜0)
y≧-x+1(0≦x＜1)
y≧1/2-(1/4)x^2(x＜-1,1≦x)
これが答え。
模範的な論述は私の手に余るので省略する。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2018/03/17 20:47

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2018/03/17 17:50

(1)

任意の実数をpと置く。
線分OAの中点は(t/2,1/2)
OAに直交するベクトルは(-1,t)
pをパラメータとすると求める直線は
(x,y)=(t/2,1/2)+p(-1,t)
と書ける。
pをこの式から消去すると
tx+y=(t^2 +1)/2

No.1 回答者： 酢酸納豆 回答日時： 2018/03/17 17:32

OAの中点Mの座標は

M(t/2・1/2)とかける。
OAの直線の式は
y= (1/t)x より
OAの法線の式は
y= (-t)x
したがって、
y-(1/2)=-t{x-(t/2)}
y= -tx+(t^2/2)+(1/2)
(2)-x<=y
違ってたらゴメン