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初項が1、公比が3の無限等比級数の第n部分和をSnとするとき、無限級数の和Σ[n=1~∞]Sn/9^n を求めよ。という問題について教えて下さい。まずSnは等比数列の和の公式で(3^n-1)/2と求めて、与式のSnに代入すると、写真のようになり、答えは1/5となってしまいました。しかしこの問題の答えは3/16となっています。なぜ違うのか教えて欲しいです。

「初項が1、公比が3の無限等比級数の第n部」の質問画像

A 回答 (3件)

Sn/9^nの級数の和の計算が間違っています。


個々に9^nで割る計算をして下さい。

S[n]=1×(1 - 3^n)/(1-3)=(1/2)×(3^n - 1)

S[n]/9^n=(1/2)×((3/9)^n - (1/9)^n)
=(1/2)×((1/3)^n - (1/9)^n)
=(1/2)×((1/3)×(1/3)^(n-1) - (1/9)×(1/9)^(n-1))
=(1/6)×(1/3)^(n-1) - (1/18)×(1/9)^(n-1)

S[n]/9^nの無限級数の和をT[n]とすると、

T[n]=((1/6)×(1-(1/3)^n)/(1-(1/3))) - ((1/18)×(1-(1/9)^n)/(1-(1/9)))
=((1/6)×(1-(1/3)^n)/(2/3)) - ((1/18)×(1-(1/9)^n)/(8/9))
=(1/4)×(1-(1/3)^n) - (1/16)×(1-(1/9)^n)

lim[n→∞] T[n]
=lim[n→∞] (1/4)×(1-(1/3)^n) - (1/16)×(1-(1/9)^n)
=(1/4)-(1/16)
=(4/16)-(1/16)
=3/16
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この回答へのお礼

なるほど...式変形が重要なのですね...回答ありがとうございました!

お礼日時:2019/06/02 15:03

Sn = (3^n - 1)/2 と


Σ[n=1→∞] Sn/9^n = (3^n - 1)/(9^n・2) までは良いとして、
(3^n - 1)/(9^n・2) は等比数列じゃあない!
n = 1,2,3,... と代入計算してみれば判る。

(3^n - 1)/(9^n・2) = 3^n/(9^n・2) - 1/(9^n・2) の
3^n/(9^n・2) と 1/(9^n・2) がどちらも等比数列だから、
Σ[n=1→∞] Sn/9^n = Σ[n=1→∞] 3^n/(9^n・2) + Σ[n=1→∞] 1/(9^n・2)
の右辺を等比級数の和の公式2個へ持ち込むことはできる。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました!等比数列じゃなかったのですね。計算してみたら微妙に違いました(笑)

お礼日時:2019/06/02 15:07

なんか「これは r=4/9, a=1/9 の等比数列で」って書いてあるように見えるんだけど, もしそうなら (「a」とか「r」とかの文字を説明もなしに使っている時点でおかしいが, それ以前に)


なにをどう考えたらそんなことが出てくるのか想像もできない
くらいにメチャクチャ. 「等比数列」がなにか, 理解してる?
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この回答へのお礼

すみませんでした理解してませんでした

お礼日時:2019/06/02 15:08

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