RLC 回路

このような問題があります：

抵抗値50Ωの抵抗値R、自己インダクタンス２０mHのコイルL、電気容量４.０µFのコンデンサーCを直列に繋いで、その両端に電圧の実効値１００V、角周波数２.５＊１０^3(rad/s)の交流電源を接続した。この回路を流れる電流の実効値をIeとすると、回路全体の平均消費電力P(av)が、P(av)＝１００*Ie*cos（φ）と表される。

cos（φ）はいくらか？
答えは：cos（φ）＝1/sqrt(2)となっていますが、なぜ「1」ではないですか？

インピーダンスZを計算したところ：
Vr＝R*Ie => 50*Ie
Vc=(1/wc)*Ie => 100*Ie
Vl=wL *Ie =>50*Ie

Ve=50*sqrt(2)*Ie　　＝＞ Ve＝Z*Ie =>　　 Z=50*sqrt(2)であることが分かりました。

従って：

Ve=100V => 100=50*sqrt(2)*Ie => Ie=sqrt(2).

P(av)=Ie*Ve => P(av)=100*sqrt(2)

求めた結果を代入すると；

100*sqrt(2)=100*sqrt(2)*cos（φ）,

cos（φ）＝１？！　なのに、なぜ答えは：cos（φ）＝1/sqrt(2)でしょうか？

考え方が間違っているかな〜？

どなたか教えていただければ、嬉しいです。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/07 14:36

＞回路全体の平均消費電力P(av)が、P(av)＝１００*Ie*cos（φ）と表される。

そもそもこれが変です。

「P(av)＝１００*|Ie|*cos（φ）」なのではありませんか？
というか、そもそも質問文に書かれたことからすると「複素数」や「位相」という感覚がまるでなく、すべてを「絶対値」だけで議論されているようなので、ここでいう Ie も |Ie| の意味で使われているもかもしれませんが。

そもそも「交流電気」をご存じなのですか？


＞Ve=50*sqrt(2)*Ie　　＝＞ Ve＝Z*Ie =>　　 Z=50*sqrt(2)であることが分かりました。

これは何を計算したのかな？

各素子の電圧は
　Vr = R*Ie = 50Ie
　Vc = (1/jωC)*Ie = -(j/ωC)*Ie = -{j/[2.5 * 10^3 * 4 * 10^(-6) ]}Ie = -j100Ie
　VL = jωL*Ie = j[2.5 * 10^3 * 20 * 10^(-3) ]}Ie = j50Ie

Ve がこれらの合成電圧だとすれば
　Ve = Vr + Vc + VL = (50 - j50)Ie　　　　①
合成インピーダンスは
　Z = 50 - j50

|Z| = 50/√2 ではあるが、位相角 -45°はどこに行ってしまった？

＞従って：
＞Ve=100V => 100=50*sqrt(2)*Ie => Ie=sqrt(2).

これは何を計算したのかな？
Ve = 100 [V] に対する Ie を求めたいのなら、上の①を使って
　Ve = (50 - j50)Ie = 100
より
　Ie = 100/(50 - j50)
分母を有理化するために、分子・分母に「50 + j50」をかけて
　Ie = 100(50 + j50)/[(50 - j50)(50 + j50)]
　　= (5000 + j5000)/(2500 + 2500)
　　= 1 + j　　　　　　　　　　　　　　　　②
です。

|Ie| = √2 ではありますが、位相角 +45°はどこかに行っていますね。

＞P(av)=Ie*Ve => P(av)=100*sqrt(2)

これも間違いです。

単純に「電圧」と「電流」とをかけ合わせた「皮相電力」は
　VI = Ve * Ie = 100 [V] * (1 + j) [A] = 100 + j100 [VA]　　　　③
ですが、「消費電力」は「有効電力」なので、力率を cosφ とすれば
　P(av) = |VI|*cosφ = {√(100^2 + 100^2)}*cosφ = (100√2)cosφ　　　④


一方、有効電力は
　P(av) = Ie*Vr = Ie^2*R = 2R = 100 [W]
なので、④と比べれば
　100 = (100√2)cosφ
→　cosφ = 1/√2
となります。


もし、質問者さんの
「回路全体の平均消費電力P(av)が、P(av)＝１００*Ie*cos（φ）と表される。」が正しくて、かつ
　Ie = √2 [A]
であるとするならば、
　P(av) = (100√2)cosφ
で、かつ「消費電力」は抵抗が消費する電力なので、
　R = 50 [Ω]
　Ie = √2　　　　　←これは |Ie| のこと
より
　P(av) = Ie^2 * R = 100 [W]
なので、やはり
　cosφ = 1/√2
が求まります。

消費電力は「100√2」ではなく、あくまで「100」です。


「消費電力」が「有効電力」つまり「抵抗の消費する電力」であることが分かっているのでしょうか？
おそらく、質問者さんは「皮相電力」（電流と電圧とを「位相差」あるままかけ合わせたもの）のことを「消費電力」と間違えているのではないでしょうか？

この回答へのお礼

とても詳しいご解説をありがとうございます〜
なるほどね。。。問題での「消費電力」は抵抗値Rの消費電力だと気づかなかった〜

お礼日時：2019/07/01 23:02

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/10 04:41

これは全部メチャクチャですね。

フェーザ法(交流理論)の基礎が完璧にゼロなので
最初からじっくりやって出直しましょう。

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/07 15:35

#4訂正

ごめんごめん
θがかぶって分かりずらいので以下のようにしておきます



一応確認
瞬時電圧v(t)=√2|・V|sinωt
を回路に加えた時、流れる電流を
i(t)=√2|・I|sin(ωt+φ) (φは電源電圧と電流の位相差）
とすると回路に供給される瞬時電力は
p(t)=v(t)i(t)=|・V||・I|{cosφ-cos(2ωt+φ)} ←←←加法定理等を駆使して、√2|・V|sinωtｘ√2|・I|sin(ωt+φ)を変形

よって　平均電力=有効電力はp(t)の時間平均を取って
Pa=(1/T)∫[0~T]p(t)dt
=(1/T)∫[0~T]|・V||・I|{cosφ-cos(2ωt+φ)}dt
＝|・V||・I|cosφ　
ですよね！

ここで、本問の回路のインピーダンスは
・Z=50+j{２.５＊１０^3＊(20/1000)-100}=50-j50=50√2e^jθ
θ=tan⁻¹(-50/50)=-π/4
ですよね！
よって　電源電圧と回路電流の位相差θは-π/4

φは・Vを基準にしたときの位相なので
本問の回路のインピーダンスが
・Z=50+j{２.５＊１０^3＊(20/1000)-100}=50-j50=50√2e^-(jπ/4)
ならインピーダンスの位相角より
電源電圧は回路電流より位相がπ/4遅れる⇔電流はπ/4位相が進んでいると分かります→φ=π/4

平均消費電力:P(av)＝１００*Ie*cos（φ）と表すなら
位相差φ＝π/4だから
cosφ=cos(π/4)=1/√２です

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/07 14:40

一応確認

瞬時電圧v(t)=√2|・V|sinωt
を回路に加えた時、流れる電流を
i(t)=√2|・I|sin(ωt+θ) (θは電源電圧と電流の位相差）
とすると回路に供給される瞬時電力は
p(t)=v(t)i(t)=|・V||・I|{cosθ-cos(2ωt+θ)} ←←←加法定理等を駆使して、√2|・V|sinωtｘ√2|・I|sin(ωt+θ)を変形

よって　平均電力=有効電力はp(t)の時間平均を取って
Pa=(1/T)∫[0~T]p(t)dt
=(1/T)∫[0~T]|・V||・I|{cosθ-cos(2ωt+θ)}dt
＝|・V||・I|cosθ　
ですよね！

ここで、本問の回路のインピーダンスは
・Z=50+j{２.５＊１０^3＊(20/1000)-100}=50-j50=50√2e^-jθ
θ=tan⁻¹(-50/50)=-π/4
ですよね！
よって　電源電圧と回路電流の位相差θは-π/4

平均消費電力:P(av)＝１００*Ie*cos（φ）と表すなら
位相差φ＝-π/4だから
cosφ=cos(-π/4)=1/√２です

No.2 回答者： kawagoe_L 回答日時： 2019/06/07 09:51

■"RLC直列回路　消費電力"で動画検索すると良いよ。

YouTubeには"RLC直列回路"で動画検索すると
その他にも色々な講座があるのでしっかりと勉強しましょう。


例)

No.1 回答者： hiro2017 回答日時： 2019/06/07 07:43

自分は数学が苦手なんですが、cos(φ）＝R/Zと教わりました。

Z＝50*sqrt(2)が正しいならcos(φ）＝50/50*aqrt(2)になりませんか？。
間違っていたらすみません。

この回答へのお礼

回答をありがとうございます；）

お礼日時：2019/06/10 07:06