ブロッホの定理における周期性について

現在固体物理学を勉強しているのですが、ブロッホの定理で引っかかるところがありました。
ブロッホの定理において、ブロッホ関数 ψ_k(r) とエネルギー E_k がありますが、これらは

ψ_k+G (r) = ψ_k (r)
E_k+G = E_k
k = (m_1/N_1)b_1 + (m_2/N_2)b_2 + (m_3/N_3)b_3
（b_i は基本逆格子ベクトル、 G は逆格子ベクトル）

が成り立つ（ようにできる）とあるのですが、これが普通に成り立たないように思えることです。
一番簡単な例としてなにもない周期的なポテンシャルがある場合、つまり空格子の場合を考えますが、このときのブロッホ関数やエネルギーは

ψ_k (r) = (1/√V)e^(ik・r)
E_k (r) = (hbar^2/2m)k^2

となります。
このときブロッホ関数やエネルギーについて基本逆格子ベクトルの周期性がないことは明らかだと思います。
一体どのような意味でブロッホ関数やエネルギーには基本逆格子ベクトルの周期性があると言われているのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2019/06/09 21:11

うーん、お考えの自由粒子の場合にどうなるかというのは、

「ほとんど自由な電子」とか"Nearly free electron"をキーワードに調べれば近い話が出てきそうかな。
例えば
http://moxbee.blogspot.com/2010/11/chapter-5-nea …
のFig.5.9などがイメージしやすいでしょうか。太い線は弱い周期ポテンシャルがある時のものなので細い線の方を見てください。


ただ、「簡単な系」という事で自由粒子を持ち出されたようですが、
ブロッホの定理との兼ね合いで言うと、自由粒子と言うのは最小周期が無限小の系で、周期εを0にする極限操作が出てくる余地があるため、それほど「簡単」な系ではありません。

一番簡単なのは、（最小の）周期がaの1次元系を周期が2aだと思ってブロッホの定理を適用した時の話でこの場合でも同様の疑問が生じると思いますので、まずはこの場合について考えてみるのが良いかと思います。
こういうのはまずは自分で考えた方が理解が深まると思うので、まずはご自身で考えてみてください。

特に
周期がaだと思っている時に波数kだと思っていた状態は、周期が2aだと思った時に波数κはいくらだと思う事になるのか
逆に周期が2aだと思った時に波数κであるような状態は、周期がaだと思っている時には波数kがいくらだと思う事になるのか（対応する波数kは１つだけなのか）
というあたりに注意してみてください。