234(1)の問題は、解説ではx^2-3xをx^2(1-3/x)に変形して、limx→∞ x^2(1

234(1)の問題は、解説ではx^2-3xをx^2(1-3/x)に変形して、limx→∞ x^2(1-3/x)=∞となっていたのですが、x^2-3xをx(x-3)に変形しても良いのですか。

No.4 回答者： housyasei-usagi 回答日時： 2019/06/19 19:38

問題はひと目で∞となるのはわかる。

x(ⅹ‐3)も同じ。

ただ、なんとなくそうだの領域のまま。

∞+n/∞の形にしないと、なんどなくのまま。

つまり、
∞+n/∞=∞+0にしないと証明になりません。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/14 13:36

不定形の極限で記述式の答案を作るときは、以下の例のように「一番強い項でくくる」というのは有用です。

だからこの機会に模範解答の変形
imx→∞ x^2(1-3/x)=∞を身に染み込ませておくと損はないと思います

例
lim[n→∞]{3^(n+1)+5^(n+1)+7^(n+1)}/(3^n+5^n+7^n)＝？

分子の1番強い項は7^n+1,分母では7^n(他の項の数値は、ｎが大きくなるほど7^n+1や7^nの数値と差をつけられてしまうので、1番強い項は7^n+1,7^n)
よって（1番強い項で）分子は7^n+1、分母は7^nでくくるという方針をたてると
{3^(n+1)+5^(n+1)+7^(n+1)}/(3^n+5^n+7^n)
＝[7^(n+1){(3/7)^(n+1)+(5/7)^(n+1)+1}]/[7^n{(3/7)^n+(5/7)^n+(1)}]
=7[{(3/7)^(n+1)+(5/7)^(n+1)+1}/{(3/7)^n+(5/7)^n+(1)}]
→7{(0+0+1)/(0+0+1)}=7 (n→∞のとき）

234(1)も強い項x²でくくる方針で
limx→∞ x^2(1-3/x)=∞

この他にもこの方針が役立つ形は多数あります。



ちなみに答えのみ出すだけでOkならx²と3x
でxを大きくしていったとき、どちらの方がより速く大きくなるかと考えれば
x²→1,4,9・・・10000・・・
3x→3,6,9・・・300・・・
なのでx→∞ではｘ²に比べて3xはごみのように小さいものとなりますから
x²-3x≒x²→∞　というようにほぼ直感で答えを出すこともできます
（記述式では上のように変形して根拠を示してください）
この事は多項式に限って言えば→∞では次数が最高の項によって決まるということを意味しています。
例n→∞のとき2n³-10n≒2n³
直感ならlimn→∞2n³-10n=limn→∞2n³＝∞
強い項でくくって確かめてみると、limn→∞2n³-10n=limn→∞2n³(1-5/n²)=∞

従って、質問の式でxでくくるというのは、記述答案を作るテクニックから見ても、直感で極限を求める観点から見ても中途半端ことをしているように感じます。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/06/14 06:00

x(x-3)に変形して、ｘ＞４の時x(x-3)＞ｘと言えるのでlim[x→∞]x=∞

よって、lim[x→∞]x(x-3)＝∞
と証明できます。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/06/14 03:31

そのあとどうします?