重ね合わせの原理・ホイヘンス原理

Question

よく理解できない問題があります：

鉛直な壁で区切られた水面上の１点Oに波源があり、波長λで一定の振動数の波が連続的に送り出されている。図中の線分OAは長さ（5/2）λで壁に垂直、線分OPは長さ１２λで壁と平行である。波は壁で自由端反射し（反射の際に位相は変化せず）、波の減衰は無視できるものとする。

点Pにおいて、直接波と反射波は強め合うか弱め合うか。また線分OP上（両端を含む）に波が弱め合う点は何個あるか？

直接波と反射波は、APの距離はmλの形ではないので、単純に弱め合うと思っていたのですが、なぜか違いますね。。。答えは：強め合う（選択肢では：２）

また、点Bから反射してPまでやってきた波をどう考えればいいですか？
それぞれの場合、波が進む距離の差だけを求めればいいと思ったのはちょっと甘い〜気がします。

「反射波」が指すのは、点Aからやってきた波ですよね？
なぜ強め合うかを教えていただければ、ありがたいです〜
よろしくお願いします。

masterkoto · Accepted Answer

Oから四方八方に発せられた波は、直接Pに届くものと、壁に反射してPに届くものがあります。
直接届く波は、OP上を直線的に進んでくるので理解することは容易ですよね（下図、緑線の波）
しかし、波はOから四方八方に発せられるので、壁のA点やB点以外でも、直線AB上の個々の点１つ１つで反射が起こります
ただし、入射角＝反射角…①　と言う法則があるので、Pに到達する反射波はABの中点で反射した波（黄色）だけです。ちなみにAで反射した波は①によりO→A→O→というようにOA上を進むことになるので、Pには到達しません。
また、Bで反射した波も下図のようにPには到達しません
従ってPでの強め合い弱めあいは、下図の緑の経路と、黄色の経路を進む波の経路差にのみ影響をされることになります。
→経路（黄色）－経路（緑)=13λ-12λ=λ
（三平方の定理や、５:12:13と言う直角三角形の辺の比を利用して黄色の距離を求める）
→経路差λ、壁での反射により位相は変化しないことから、Pでは強めあう
ということになります

なお、波が弱めあう点の数とも関連してきますが、
このような問題では次のように扱うと簡易になりそうです
図下段のように、Oから出た波（黒円）を考えます。（黒円は波の山の部分とします）
破線部分は、ABが無いと仮定した場合の波の広がり方です。実際はABで自由たん反射するので反射波を考えると、赤の実線になります。
この赤の実線を元に円（赤実線と赤破線）を完成させると、反射波(赤実線)はあたかも赤円の中心O'から発せられた波のように見えます。
(このとき、図形の対称性からO'の位置はOAの延長上でOA=O‘A)
すると、この問題は壁をなくして、Oと同波長、同位相、同振幅の波源O'を設けたときの
２つの波源から出る波の重ね合わせ　という状況を考えても同じという事です
このとき、直接波の経路はOP=12λ、反射波の経路はO'P＝13λ（三平方の定理などにより）となるので、前に述べた経路差と一致します

yhr2 · Answer

＞APの距離はmλの形ではないので、

AP の距離？　それは何の関係もありませんよ。

＞「反射波」が指すのは、点Aからやってきた波ですよね？

波は「最短距離」を通ります。
「壁での反射波」の最短距離は、壁に対してPの「鏡像」位置P' を考えて、OP' の直線です。
なので、P 点での「直接波」と「反射波」の「重なり合い」は、OP と OP' の距離の「差」で考えます。

ちなみに、OP' は三平方の定理から
　OP' = √[(12λ)^2 + (5/2λ * 2)^2] = √(144 + 25) *λ = 13λ
です。

rnakamra · Answer

P点に届く反射波はどの点で反射された波なのでしょうか。

光の反射を考えると入射角と反射角が等しい方向に反射するということはご存知だと思います。
波も同様に入射角と反射角が等しい方向に反射します。

Oから出て壁で反射してPに届く波はABの中点で反射した波なのです。

A点やB点で反射した波は考えなくてよいのか、という疑問があると思いますが問題ありません。
実際の反射波はA点やB点だけでなく壁全てから発生する反射波の合成になります。これらを全て足し合わせるとP点ではABの中点で反射された波とみなしてよくなるのです。

重ね合わせの原理・ホイヘンス原理

Oから四方八方に発せられた波は、直接Pに届くものと、壁に反射してPに届くものがあります。

＞APの距離はmλの形ではないので、

P点に届く反射波はどの点で反射された波なのでしょうか。

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