数学青チャートで解けない問題があり、 詳しい方にご教示頂けたらと思います。 数学青チャートp97.E

数学青チャートで解けない問題があり、
詳しい方にご教示頂けたらと思います。

数学青チャートp97.EX50(2)において、
A(a cosθ,b sinθ)とおけば、
B(-+a sinθ, ±b cosθ)とおけて、
計算を進めると、1/h2は添付図のようになり、
θが消えません。

座標設定が誤っているのでしょうか。
それとも、工夫すれば、
θは消すことができるのでしょうか。

ご教示お願いいたします。

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  
  ヒントの解き方は理解できるのですが、
  なぜこのような座標設定では、
  うまくいかないのか教えていただけると助かります。
  
  Bの座標設定が原因？とは思いつつ、
  方程式に代入すれば成立するので、
  なぜ間違っているのか分からないのです。

    補足日時：2019/07/02 20:21

No.2 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2019/07/02 22:24

お気づきの通りBの座標設定にまちがいがあるのです。

というのはたとえば
A(a cosθ,b sinθ)もB(-asinθ、ｂcosθ)もたしかにだ円上の点ですが
ベクトルOAとベクトルOBの内積をとると
(1/2)(b²-a²)sin2θとなりだ円の場合ｂ≠aなのでこれはθ＝0、π/2、π、3π/2を
のぞいては0になっていません。
つまりθの上の4つ以外ではOAとOBは垂直ではないから仮定に反しているわけです。

この回答へのお礼

なるほど確かにそうなりますね。

円の時はうまくいくので
楕円でもうまくいくものだと勘違いしていました。

つまり、楕円で2点を設定するときには、
θだけでは表せないから、長さに2変数を用いて
回答しなければならないんですね。

ありがとうございます。勉強になりました。
また分からないことがあれば教えてください。
よろしくお願いいたします。

お礼日時：2019/07/02 22:42

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2019/07/02 19:27

うん、そのヒントにあるように

A(r₁cosθ、r₁sinθ)、B(-r₂sinθ、r₂cosθ)　になるから
これをだ円の式に入れて
1/r₁²＋1/r₂²＝1/a²＋1/ｂ²　になる。