No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No.1です。
「補足」を見ました。>熱収支式は
>d/dr (rdT/dr)+Hr/λ ・・・・①
これ、なんの「収支」にも「関係式」にもなっていませんね?
これから、何をどのように導き出すおつもりですか?
(1) では、微小厚さ Δr の「円環状の微小体積要素」を考えろと言っていますよね?
ということで、半径 r ~ r + Δr、長さ L の「円管」を考えます。
この体積は
ΔV = 2パイr * Δr * L = 2パイLrΔr
と書けますから、この体積内での発熱量は
ΔQ = H * ΔV = 2パイLHrΔr ①
です。
この微小体積を通過する熱流束を内→外の向きと仮定すると、この熱流束を q(r) として、熱量の収支は
q(r) * 2パイrL + ΔQ = q(r + Δr) * 2パイ(r + Δr)L ②
と書けます。
ここで、微小厚さでの温度勾配は一定であるとみなせば、熱流束は
q(r) = q(r + Δr) = -λ*dT/dr
なので、②は①も使って
-2パイλrL*dT/dr + 2パイLHrΔr = -2パイλ(r + Δr)L*dT/dr
整理して
2パイLHrΔr = -2パイλ(Δr)L*dT/dr
→ dT/dr = -Hr/λ ③
と書けます。
ここまではいかがですか? 違っていますか?
③の微分方程式を解けば
∫dT = -(H/λ)∫rdr
→ T(r) = -(H/2λ)r^2 + C ④
境界条件は、④を「全体の円管」に適用したときの外面温度
T(Ro) = -(H/2λ)(Ro)^2 + C ⑤
での熱伝達が
q(Ro) = h[T(Ro) - To] ⑥
かつ熱流束が③より
q(Ro) = -λ(dT/dr)|(r=Ro) = HRo
なので、⑤は
HRo = h[T(Ro) - To]
→ T(Ro) = To + HRo/h
よって、⑤より
C = T(Ro) + (H/2λ)(Ro)^2
= To + HRo/h + (H/2λ)(Ro)^2
となり、④は
T(r) = -(H/2λ)r^2 + To + HRo/h + (H/2λ)(Ro)^2
ただ、これだと「円管内面」の熱伝達の初期条件が入っていないので、もう少し補正する必要があるかもしれません。
No.3
- 回答日時:
No.2 です。
「補足」(その3)を見ました。>ごめんなさい「=0」が抜けてました。
それは了解しました。
ただ、式の中で「微分値(温度勾配)」の dr と「微小体積のδr」(#2 では Δr と書きました)は区別しないといけませんよ。
>あとToは文中に与えられてないので使用してはいけない、という考えに基づいて解きました
失礼しました。#2 の「To」は、問題文で与えられている「Tb」のことです。
#1 に書いたように、管内で「熱伝導率:λ」で伝わる熱流束と、管の境界で「熱伝達率:h」で放熱する熱流束が等しい(そうでないとどこかに熱が蓄積する)、というのが境界条件ですよ?
No.1
- 回答日時:
>(1)の熱収支式は建てれたのですが
では、それを書いてみてください。
配管の外側表面および内側表面からの熱伝達(熱放出)と、配管内部からの熱発生のバランスが「境界条件」になるはずです。
熱収支式で決まる配管内の径方向の温度から、管の外側表面温度 To と内側表面温度 Ti が求まるはずです(積分定数を含んで)。
このとき、長さ L の配管の外側、内側からの単位時間の放熱を Qo, Qi とすれば
Qo/(2パイRo*L) = h * (To - Tb) ←管の外側表面からの熱伝達
Qi/(2パイRi*L) = h * (Ti - Tb) ←管の内側表面からの熱伝達
Qo + Qi = H * パイ(Ro^2 - Ri^2) * L ←管の発熱/放熱の収支
が境界条件になるのではありませんか?
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熱収支式は
d/dr (rdT/dr)+Hr/λ ・・・・①
境界条件はr=R0,R1において
−λdT/dr=h(T−Tb)
境界条件は内表面と外表面でニュートンの冷却法則が成り立つとして考えました。
ただこの先の計算が、、、とても複雑な式になってしまい合っている気がしません。うまく計算できる方法ないでしょうか。ちなみに自分は①式をrで2回積分して、その式と境界条件の式を用いてC1,C2(積分定数)に関する連立方程式を作り、無理矢理計算しました。写真に載せたようにC1がこのような値になってしまい、C2はもっと酷いことになり、最終的なT=の式はとてつもないことになっています
ごめんなさい「=0」が抜けてました。
あとToは文中に与えられてないので使用してはいけない、という考えに基づいて解きました
ありがとうございます。
たぶん貴方の解答もあってると思いますが、私は微小体積から出て行く熱量をQr +δr=Qr + (dQ/dr)δr として計算しました。その点で、貴方と私の熱収支式が異なったのかなという結論に至りました。いい勉強になりました。ありがとうございました。