xy空間に定点A(√2,√2,4)と、xy平面上の円C:x^2+y^2=1,z=0がある。そして動点

xy空間に定点A(√2,√2,4)と、xy平面上の円C:x^2+y^2=1,z=0がある。そして動点Pはz軸上を動き、動点QはC上を動く。このとき、AP+PQ+QAの最小値、および最小値を与えるP,Qの座標を求めよ。

どうやればいいのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/07/13 15:41

No.2の続きです。

点Q(s,t,0)、点A´(-2s,-2t,4)
点Q(√２/2,√２/2,0)、点A´(-√２,-√２,4)
点Qと点A´が平面ax+by+cz+d=0上にあるとすると、
√２/2a+√２/2b+d=0・・・①
-√２a-√２b+4c+d=0・・・②
①、②より、4c+3d=0
d=-4/3c

ax+by+cz-4/3c=0
点P(0,0,z)を代入して、z=4/3
したがって、点P(0,0,4/3)

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/08/13 16:17

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/07/13 15:18

点A(√２，√２，４)よりｘｙ平面上に垂線を下ろし、その点をR(√２，√２，０)とします。

点Rは円C´:x²+y²=4,　z=0　の円周上の点です。

点Q(s,t,0)として、QOの延長と円C´との交点をR´とすると、R´(-2s,-2t,0)となります。
ここで、ｘｙ平面に垂線を立て、点A´(-2s,-2t,4)をとります。［まわりくどい説明をしましたが、もちろん、x²+y²=4,　z=4　の円周上ですぐにA´(-2s,-2t,4)をとってもらえればOKです。］

点Q、点A´、ｚ軸は同一平面上にあるので、点Qと点A´を直線で結び、ｚ軸との交点をPとします。ここで、A´P＝APですから、AP+PQが最小となります。
A´Q＝√{(s+2t)²+(t+2t)²+4²}=√{9(s²+t²)+16})
ところで、点Q(s,t,0)は円C上の点なので、s²+t²=1ですから、A´Q＝√(９×１+16)=5
したがって、点Qが円Cの円周上のどこにあっても、点Pをこのようにとることで、AP+PQ＝５(最小)とできます。

あとは、QAの最小値を求めます。
点R(√２，√２，０)より、点Q(√２/2、√２/2、０)とすると、QAは最小になります。
QA＝√{(√２-√２/2)²+(√２-√２/2)²+4²}＝√{1/2+1/2+16}=√17
したがって、AP+PQ+QA＝5+√17

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2019/07/06 15:24

点Qは(1/√2,1/√2,0)です。

問題文の条件を満たす必要条件は点Qが点Aとz軸を含む平面上にあることだからです。
点Aとz軸について対称な点A'を取って線分A'Qの長さを求めるとそれは最小となるAP+PQです。
直線A'Qとz軸の交点を求めるとそれは求める点Pです。