一辺の長さが4の正八面体OABCDEにおいて、AB,DEをそれぞれt:1-t,s:1-s(0<s,t

一辺の長さが4の正八面体OABCDEにおいて、AB,DEをそれぞれt:1-t,s:1-s(0<s,t<1)に内分する点をS,Tとした時のSTの長さの求め方を教えてください

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/01/28 22:31

四角形ABCDは正方形。

ACとBDの交点をPとします。
AB=BC=CD=DA=４、PA=PB=PC=PD=２√２
四角形OBEDは正方形。
OB=BE=ED=DO=４、PO=PB=PE=PD=２√２
空間座標を用いて、各点を表します。
点Pを原点として、A(2√2,0,0) , B(0,2√2,0) , C(-2√2,0,0) , D(0,-2√2,0) , E(0,0,2√2) ,O(0,0,-2√2) とします。
ABの内分点がT、DEの内分点がSと思われますので、内分点を求める公式により、
T( 2√2(1-t) , 2√2t , 0 ) , S( 0 , -2√2(1-s) , 2√2s ) と表されます。

これより、
ST＝√[{2√2(1-t)}²+{2√2t+2√2(1-s)}²+(-2√2s)²]
=√{8(1-t)²+8t²+16t(1-s)+8(1-s)²+8s²}
=√8{s²+(1-s)²+t²+(1-t)²+2(1-s)t}
=2√2[√{s²+(1-s)²+t²+(1-t)²+2(1-s)t}]
となります。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/01/27 18:37

ベクトルの矢印は省略

Aを起点とするベクトルで考える
文字の整合性から　ABの内分点がTではないかと思うので、そのような内分点Tを考えると
AT=tAB（この内分点名がSであるなら　AS=tABとしてください）
DEの内分点がSなら内分公式から
AS=(1-s)AD+sAE (内分点名がTなら　AT＝に改めてください）
これらを用いて
ST=AT-AS=tAB-{(1-s)AD+sAE}
|ST|²＝[tAB-{(1-s)AD+sAE}]²
として以下展開します
|AB|²＝|AD|²=|AE|²＝4²
直行するベクトルの内積なので
AB・AD=0
正三角形の辺同士の内積なので、なす角を60度として
AB・AE=AD・AE=|4|・|4|cos60
として展開です
ST²が求まればルートにすれば　STの長さとなります