数学 積分法 この253の解説お願いします。

数学 積分法


この253の解説お願いします。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/12 01:05

ちょっと面白いところのある問題ですね。

一見して F(x) を x の n 次式とすると... とやりたくなります。 そのやり方で、
F(G(x)) = -F(x)^2 + pG(x) + q の両辺の次数を比較すると n=2 と判り、
f(x) が一次式であることから f(x) = Ax+B と置いて
F(G(x)) = -F(x)^2 + pG(x) + q が恒等式になるように A,B を決めると...
とやれば解けるのですが、(1)の誘導に乗ったほうが、記述が楽です。

F(x) = ∫[0,x]f(t)dt = ∫[0,1]f(t)dt - ∫[x,1]f(t)dt = a - G(x) なので、
これを F(G(x)) = -F(x)^2 + pG(x) + q　へ代入すると、
F(G(x)) = -(a - G(x))^2 + pG(x) + q.　←[1]
f(x) が定数 0 でないことから G(x) は定数関数ではなく、
[1]が x についての恒等式なら、y = G(x) と置いて
F(y) = -(a - y)^2 + py + q.　←[2]　が y についての恒等式です。

a = ∫[0,1]f(t)dt = F(1) = G(0) = a - F(0)　に[2]を代入すると、
a = -(a - 1)^2 + p・1 + q = a - { -(a - 0)^2 + p・0 + q } より
q = a^2, p = 1-a. これを[2]へ戻して、結局
F(x) = -(a - x)^2 + (1-a)x + a^2 = -x^2 + (a+1)x です。

平方完成すると F(x) = -{x - (a+1)/2}^2 + (a+1)^2/4 となります。
0≦x≦1 での F(x) の最大値は
(a+1)/2<0 のときは F(0) = 0,
0≦(a+1)/2≦1 のとき F((a+1)/2) = (a+1)^2/4,
(a+1)/2>1 のときは F(1) = a

なので、 最大値が 1/2 になる条件は
(0≦(a+1)/2≦1 かつ (a+1)^2/4 = 1/2)
または ((a+1)/2>1 かつ a = 1/2).
これを満たす a は、 a = -1+√2 だけです。
よって、F(x) = -x^2 + (√2)x,
f(x) = (d/dx)F(x) = -2x + √2 です。