数学の単振動について

質量1キログラムの物体が周期2s 振幅1mの単振動を行っている。
最大の速さ、最大の加速度の大きさはいくらか？
という問題の解き方がわかりません。
解答などは付属しておらず、助けていただきたいです。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/07/13 10:52

この場合重さは関係ない。

振幅1 m 周期Tの単振動はxを変位とすると
x=1・sin(ωt +Φ) (ω=2π/2、φは初期位相)
速度=dx/dt=ωcos(ωt+Φ)
加速度=d^2x/dt^2=-ω^2sin(ωt+Φ)

後はわかるよね。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/13 17:24

単振動の変位は

x=Asinωt
数学的に処置するなら
v=dx/dt=Aωcosωt
a=dv/dt=-Aω²sinωt
0≦|cosωt|≦1だから
0≦|Aωcosωt|≦Aω
Aは振幅、Tは周期で、ω=2π/T＝2π/2＝πだから
0≦|Aωcosωt|≦1π
よって速さの最大値はπ[m/s]
同様に
0≦|-Aω²sinωt|≦Aω²
加速度の大きさはmax,Aω²=π²[m/s²]

高校生なら
等速円運動の射影が単振動だから、ｘ、ｙ平面を原点を中心に等速円運動している動点Pにyの正方向から光をあて
x軸と水平に置かれたスクリーンに映るPの影の様子を見れば良い

等速円運動の半径をr,角速度をω、速度をｖとすれば
v=rω・・・公式
その影の動きが単振動だから、振幅１ｍは円運動の半径に相当する→r=1
また、周期T=2から、ω=2π/T=2π/2=π
したがって、等速円運動の速度はv=1π=π
影は円運動をスクリーンに映したものだから、円運動の速度より影の動きが早くなることは無い
ゆえに、影（単振動）の速さは、maxでπ
同様に、等速円運動の加速度は、a=rω²=1π²
影は円運動をスクリーンに映したものだから、円運動の加速度より影の加速度が大きくなることは無い
ゆえに、影（単振動）の加速度の大きさは、maxでπ²