数学についてです。 写真の問題の解説をしてください。

数学についてです。
写真の問題の解説をしてください。

質問者からの補足コメント

• dS = 4πrdr + 2πhdr + 2πrdh = 0,
  dV = 2πrhdr + π(r^2)dh.
  から
  dV = πr(h-2r)dr
  
  の最後の式の求め方がよくわからないので教えてください。

    補足日時：2019/07/14 20:16

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/13 23:06

底面の半径が r、高さが h の直円柱の

表面積は S = 2(πr^2) + (2πr)h、
体積は V = (πr^2)h。
S 一定という条件下に V が最大になる場合を考えよ
という問題。

両式の微分を考えると、
dS = 4πrdr + 2πhdr + 2πrdh = 0,
dV = 2πrhdr + π(r^2)dh.
から
dV = πr(h-2r)dr.

h-2r = 0 となる r,h が、S = 2(πr^2) + (2πr)h から
r = √(S/6π) であることより、
r にかんする V の増減表は
r　　　　0　　　　√(S/6π)　　　　√(S/2π)
dV/dr　　　　+　　　0　　　　-
V　　　　0 　　 　 極大　　　　　　　0

よって、Vが最大になるのは、r = √(S/6π)、
したがって h = 2r = 2√(S/6π) のとき。
答えは「高さが底円の直径と等しいとき」とでもすればよいか。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
理解できました。

お礼日時：2019/07/14 20:23