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この問題は
連続する3つの整数の積は6の倍数である(これは常識として覚えておくものですか?)
を利用してとくか、
数学的帰納法
を使うかどちらにしますか?
ついでに解説もいただきたいです。

or合同式

「この問題は 連続する3つの整数の積は6の」の質問画像

A 回答 (4件)

連続する3つの整数の積は6の倍数である(これは常識として覚えておくものですか?)


>覚えておかなくても、すぐに思いつくことです
というのも、3の倍数は連続する整数では3ごとに登場するので、連続する3つの整数の中に必ず含まれますし、偶数も連続する3つの整数の中に必ず含まれるから、連続する3つの整数の積は3の倍数x偶数=6の倍数になる と言うのは直感的に分かることです。

本問の解法も自分がやりやすいものを採用すれば良いのです
2n³+3n²+n=n(2n+1)(n+1)=n{(n+2)+(n-1)}(n+1)=n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)だから
連続3数の積ー連続3整数の積=6の倍数-6の倍数=6の倍数、です
ただし、連続3整数の積=6の倍数ということを別途答案に示しておいた方が無難です(これを省くと、どうして連続3整数の積=6の倍数 といえるのか説明不足となり減点の恐れもあります)

また 場合わけでも行けそう
・nが3の倍数の時,n=3kとおいて2n³+3n²+n=n(2n+1)(n+1)・・・(あ)に代入、
n(2n+1)(n+1)=3k(6k+1){(3k+1)+1}は先頭に3があるので3の倍数です
また,3k{(3k+1)+1}は連続2整数の積なので、(あ)は2の倍数です
あわせて,n(2n+1)(n+1)=3k(6k+1){(3k+1)+1}は6の倍数
・nは3で割ると1余る数の時 n=3k+1とおいて(あ)に代入
・nは3で割ると2余る数の時 n=3k+2といて(あ)に代入
これらも同様に6の倍数が示せます(ご自分で!)


ちなみに今回はnが整数なので、nの最低値が定まりません
よって帰納法では難しいと思います。
仮にnが自然数という条件なら帰納法でも可能です

2n³+3n²+nは6の倍数である このことを①とする
[1]n=1のとき、2n³+3n²+n=2・1³+3・1²+1=6
よって①は成り立つ
[2]n=kのとき①が成り立つと仮定すると
2k³+3k²+kは6の倍数である
n=k+1のときを考えると
2(k+1)³+3(k+1)²+(k+1)=(k+1){2(k+1)²+3(k+1)+1}
=(k+1)(2k²+7k+6)
=2k³+9k²+13k+6
=(2k³+3k²+k)+6k²+12k+6
=(2k³+3k²+k)+6(k²+2k+1)
よって (6{k²+2k+1}は6の倍数、{2k³+3k²+k}も6の倍数だから,6の倍数+6倍数で)
(2k³+3k²+k)+6(k²+2k+1)は6の倍数となるからn=k+1の時も①は成り立つ

[1,2]から帰納法により①はすべての自然数について成り立つ

(nの最低値が決まっていない条件下では[1]を述べることが出来ないので、nが整数の条件では帰納法を用いることが難しい)
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タイトルを完全に無視して


・n = 0 のとき: 明らか
・n > 0 のとき: 2n^3 + 3n^2 + n = 6Σ(k=1~n) k^2
・n < 0 のとき: 2n^3 + 3n^2 + n = -[2(-n)^3 + 3(-n)^2 + (-n)] + 6n^2.
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常識として覚えておく>連続する3つの整数は必ず2と3の公倍数になります。

瞬時に想い出して下さい。連続する整数を切ると嫌でもそうなります。
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mod 6 において


(i) n≡0 の時
n^3≡0, n^2≡0,
∴ 2n^3 + 3n^2 + n ≡ 0
(ii) n≡1 の時
n^3≡1, n^2≡1
∴ 2n^3 + 3n^2 + n ≡ 2+3+1 = 6 ≡ 0
(iii) n≡2 の時
n^3≡8≡2, n^2≡4
∴ 2n^3 + 3n^2 + n ≡ 4+12+2 = 18 ≡ 0
(iv) n≡3 の時
n^3≡27≡3, n^2≡9≡3
∴ 2n^3 + 3n^2 + n ≡ 6+9+3 = 18 ≡ 0
(v) n≡4 の時
n^3≡64≡4, n^2≡16≡4
∴ 2n^3 + 3n^2 + n ≡ 8+12+4 = 24 ≡ 0
(vi) n≡5 の時
n^3≡125≡5, n^2≡25≡1
∴ 2n^3 + 3n^2 + n ≡ 10+3+5 = 18 ≡ 0
以上より2n^3+3n^2+nは6の倍数であることが示された。
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