鉛筆印がついている所の「さらに図形的〜 がよくわからないので教えてください lzl=1

鉛筆印がついている所の「さらに図形的〜 がよくわからないので教えてください
lzl=1

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/08/14 15:30

Zが複素数で（仮にz=a+biとします）、|Z|=1ということなら

2z+1（＝1+2a+2bi)を図示するには次のようになります
複素数平面に　1を表わす青線と、2zを表わす緑線を描く
次に緑線を黄色の位置まで平行移動する
結果、黄色線の先端の座標(1+2a,2b)が、複素数2z+1＝1+2a+2biの実部1+2aと虚数部2bに対応
と言う要領です
ただし、zは具体的にどのような複素数であるか不明（a,bの具体的数値は不明）なので
a,bの値によっては緑線の角度も図とは違ってきます（ただし|Z|=1だから長さは変わらない）
ただ、緑線の角度が違う場合でも同じ要領で作図となりますので、青に連なる黄色線は
図に示した赤線群になり得ます。
従って、赤線群は点１を中心とした半径|2Z|＝２の円を描くというわけです

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/14 20:23

複素数平面を覚えていますか？

複素数 z が z = x+yi、x,yは実数、i は虚数単位と書けるとき、
z と平面上の点 (x,y) を対応させて考える例のアレです。

この平面上において、|z| = 1 を満たす複素数 z を集めると、
半径 1 で原点を中心とする円になります。
|z| = √(x^2+y^2) なので、|z| = 1 は x^2+y^2 = 1 と書けるからです。

|z| = 1 を満たす z に対して、
2z+1 を集めると、半径 2 で (1,0) を中心とする円になります。
2z は z を原点を相似中心として 2倍に拡大したもので、
2z+1 は 2z を原点を 1+0i へ移すように平行移動したものだからです。

|2z+1| は、この円上の点 2z+1 の原点からの距離ということになります。
それは、平面の図を書いて幾何学で求めることができますね？
円周上で原点から一番遠い点は (3,0)、一番近い点は (-1,0) です。