この問題の計算方法が分かりません... 特に近似されている式をどう使うのかも曖昧です。 教えていただ

この問題の計算方法が分かりません...
特に近似されている式をどう使うのかも曖昧です。


教えていただけると嬉しいですm(*_ _)m

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/08/20 12:16

＞特に近似されている式をどう使うのかも曖昧です。

放射能、放出される放射線の減衰だとか、「半減期」だとかということを、全く理解できていないのでは？

放射性核種の原子核数は
　N(t) = N0 * e^(-λt)　　　　　①
という時間変化をします。
ここで λ は「崩壊定数」と呼ばれます。

（これは
　dN/dt = -λN
というという微分方程式を t=0 のとき N(0) = N0 という初期条件で解いたもの）

「半減期」についても一応書いておきますと、
　N(T) = (1/2)N0
となる T が「半減期」で、
　e^(-λT) = 1/2
より、両辺の自然対数をとって
　λ = ln(2)/T ≒ 0.693/T
でますから、①式は
　N(t) = N0 * e^(-0.693t/T)　　　　②
と書けるということです。

この式を使うので「指数関数の近似式」が与えられているのです。
（ただし、近似式は x<<1 、何とか頑張って x<1 でないと使い物にはなりません）

問題で対象にしているものは、99mTc の放射能（１秒間あたりに放射線を出す強さ）であり、それは
(a) 99Mo が、半減期 66 h で崩壊し（初期値が 100 MBq）
(b) そのうちの 0.877 が 99mTc になり
(c) その 99mTc が半減期 6 h で放射線を出して崩壊していく
という反応のうちの (c) の数を求めよ、というものです。

このようなカスケードの崩壊は、ちょっと取り扱いが難しいのですが、質問者さんはどのレベルまで勉強されたのでしょうか？

必要なら、こんなサイトを参照ください。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E6%B8%9B …


少し分かりやすくやってみると、99Moは「半減期 66 [h]」で「初期状態から 48 [h] 」経過しているので、99Moの原子核数は
　N(48) = N0 * e^(-0.693 * 48 /66) = N0 * e^(-0.504)
ですから、与えられた「近似式」を使って
　e^(-0.504) = 1 - 0.504 + 0.504^2 /2 = 0.623
よって
　N(48) = 0.623N0

崩壊数は、そのときに存在する原子核数に比例するので（その比例定数が「崩壊定数」）、従って、その時点の放射能は「62.3 MBq」ということになります。

このうち「99mTc の生成比が 0.877」ということなので、１秒あたりの 99mTc の生成数は
　62.3 * 10^6 * 0.877 ≒ 54.6 * 10^6
ということになります。

このように生成される 99mTc が「半減期 6 [h]」で崩壊する数が求める「放射能」の値なのですが、半減期が 6 [h] << 66 [h] なので、「99mTc は生成されるそばからどんどん崩壊する」とみなして、99mTc の放射能はほぼこの値に等しいということで、最も近い「60 MBq」を選ぶのも一つの解かと思います。

ただし、その時点で存在する 99mTc の原子核数は、この「その時点で生成された原子核数」に「それ以前に生成されて、崩壊せずに残っている原子核数の累積」も加えないといけないので、「崩壊定数」あるいは「半減期」を使って概算すると 99mTc の放射能は
　54.6 * 10^6 * λ2/(λ2 - λ1)
= 54.6 * 10^6 * (1/6)/[(1/6) - (1/66)]
≒ 60 * 10^6
程度となります。

さらに正確に求めたい場合には、２つの核種の生成・崩壊を微分方程式を連立させて解くことが必要になります。

質問者さんがどこまでの勉強をして、どこまでのレベルの課題を解決しようとしているのか分かりませんし、この問題がどこまで正確に値を求めることを要求しているのか、「だいたい60ぐらい」と概算できればよいと考えているのか分かりませんが、上のような概算からは
「約 60 MBq」従って選択肢では「3」
という結果になりそうです。


質問者さんが、どのレベルの問題解決をされたいのか分からないので、この程度の説明にしておきます。
ただし、①②式あたりが使えることは、放射性核種や放射線を扱う上で「基本中の基本」かと思いますので、そこは最低限復習して理解しておくことが必要だと思います。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます！！
参考に解いてみます。
答えの導き方を知りたかったですが、内容も理解しようと思います。
ありがとうございました(*^^*)

お礼日時：2019/08/26 14:24