x³+y³+z³=(x+y+z)-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz この式の導き方が分

x³+y³+z³=(x+y+z)-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz
この式の導き方が分かりません。
x³+y³+z³-3xyz=(x+y+z)(x² +y² +z² -xy-yz-zx)を用いますか？

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2019/08/19 16:53

(x+y+z)³－(x+y+z)=0と置くと、この時(x+y+z)(x+y+z+1)(x+y+z-1)=0を満たすｘ、ｙ、ｚに置いて

x³+y³+z³+3(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz-(x+y+z)=0
x³+y³+z³=(x+y+z)-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz
が成り立つ。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/19 19:39

x^3 + y^3 + z^3 を x, y, z の基本対称式を使って表示しようという試みですね？

x^3 + y^3 + z^3 = (x + y + z) - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz ではなく、
x^3 + y^3 + z^3 = (x + y + z)^3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz です。

左辺の x^3, y^3, z^3 が (x + y + z)^3 から生じるんだろうなあ と見当をつけて、
(x + y + z)^3 - (x^3 + y^3 + z^3) を展開してみましょう。 そこに現れる
xy^2, yz^2, zx^2, yx^2, zy^2, xz^2 などをどこから引っ張りだそうか考えてみると、
(x + y + z)^3 - (x^3 + y^3 + z^3) = 3(x + y + z)(xy + yz + zx) - 3xyz に気がついたり
気がつかなかったり...

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/08/20 00:41

右辺を展開するのが簡単.