高校 数学 aを実数の定数とする xの関数f(x)=x|x-2a|の 0≦x≦1における最大値をMと

高校 数学

aを実数の定数とする
xの関数f(x)=x|x-2a|の
0≦x≦1における最大値をMとおく


(1)Ｍをaを用いて表せ
(2)aの値すべての実数を変化するとき Mの最小値を求めよ


教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： BAY19981026 回答日時： 2019/09/08 16:30

前回、同じ問題を回答したのですが、わかりにくかったですか？

x≧2aのときf(x)=x ^2-2a x
x<2aのときf(x)=-x ^2+2a x
なので、y=f(x)のグラフは添付グラフのようになります。a <0のとき
0≦x≦1でf(x)は常に増大するので、最大値はf(1)=1-2a
x=1がアの位置にあるとき、
つまり1≦aのとき範囲内でf(x)は常に増大するので、最大値はf(1)=2a-1
x=1がイの位置にあるときつまりa<1≦(√2+1)aのとき0≦x≦1の範囲でf(x)は最大値a^2をとります。
x=1がウの位置にあるとき、つまり(√2+1)a<1のとき、f(x)=f(1)=1-2aが最大値となります。
ここで、(√2+1)aが出てくるのはx=(√2+1)aのときf(x)=a^2となり、それまでの最大値に達するからです
おそらくグラフを固定して、x=1が動くのがわかりにくいのかなと思います。
もしそうならば、x=1を固定して、1<a、a≦1<(√2+1)a、(√2+1)a≦1のそれぞれでy=f(x)のグラフを書いて見てください。
あと、わからないところがあったらまた聞いてください。

この回答へのお礼

もっと色々な回答をみたいと思って再度投稿しました。今回も回答頂きありがとうございました。

お礼日時：2019/09/08 22:46

No.3 回答者： BAY19981026 回答日時： 2019/09/08 19:05

また添付グラフが消えてました。

すみません。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/09/05 15:42

「絶対値」は、面倒でも場合分けして外します。

それが「定石」「王道」でもあります。

A≧0 のとき |A| = A
A<0 のとき |A| = -A　← -A > 0 ですから。

これでやれば

(a) x - 2a ≧ 0 つまり x ≧ 2a のとき　　　①
　f(x) = x(x - 2a) = x^2 - 2ax = (x - a)^2 - a^2　　　②
なので、y = f(x) のグラフは
・下に凸の放物線
・頂点は (a, -a^2)

これより、

(a-1) a>0 のとき、①の x ≧ 2a は放物線の x 軸との交点のうち「右側の交点よりも右」の部分
(a-2) a=0 のとき、放物線は x=0 で x 軸に接するので、①の x ≧ 2a は f(x)=x^2 の放物線の右半分
(a-3) a<0 のとき、①の x ≧ 2a は放物線の x 軸との交点のうち「左側の交点よりも右」の部分

ということになります。


(b) x - 2a < 0 つまり x < 2a のとき　　　③
　f(x) = x[ -(x - 2a) ] = -x^2 + 2ax = -(x - a)^2 + a^2　　　④
なので、y = f(x) のグラフは
・上に凸の放物線
・頂点は (a, a^2)

これより、

(b-1) a>0 のとき、③の x < 2a は放物線の x 軸との交点のうち「右側の交点よりも左」の部分
(b-2) a=0 のとき、放物線は x=0 で x 軸に接するので、③の x < 2a は f(x)=-x^2 の放物線の左半分
(b-3) a<0 のとき、③の x < 2a は放物線の x 軸との交点のうち「左側の交点よりも左」の部分

ということになります。

つまり、y = f(x) のグラフは

(A) a>0 のとき、(a-1) と (b-1) つまり
　x < 2a では y = -(x - a)^2 + a^2
　(0 <) 2a ≦ x では y = (x - a)^2 - a^2

(B) a=0 のとき、(a-2) と (b-2) つまり
　x < 0 では y = -x^2
　0 ≦ x では y = x^2

(C) a<0 のとき、(a-3) と (b-3) つまり
　x < 2a (< 0)では y = -(x - a)^2 + a^2
　2a ≦ x では y = (x - a)^2 - a^2


（１）この (A)(B)(C) に対して、x の定義域 0≦x≦1 での最大値を求めればよいです。
グラフを書いてみると分かりやすいと思います。

(B)(C) の場合には、、x の定義域 0≦x≦1 では関数は② y=(x - a)^2 - a^2 であり、この定義域では単調増加なので、x=1 のときに最大値をとります。
つまり
　M = (1 - a)^2 - a^2 = 1 - 2a

面倒なのは (A) の場合で、このときには a の値によって場合分けして
(i) 1 ≦ a であれば x=1 で最大、このとき関数は④なので M = f(1) = -1 + 2a
(ii) √2 - 1 < a < 1 であれば x=a で最大、このとき関数は④なので M = f(a) = a^2
(iii) 0 < a ≦ √2 - 1 であれば x=1 で最大、このとき関数は②なので M = f(1) = 1 - 2a

以上より
・a ≦ √2 - 1 のとき M = 1 - 2a　　　⑤
・√2 - 1 < a < 1 のとき M = a^2　　　⑥
・1 ≦ a のとき M = 2a - 1　　　　　　⑦
となる。


（２）⑤⑥⑦を a-M グラフにしてみれば、M の最小値は
　a = √2 - 1
のときで、そのとき⑤より
　M = 1 - 2(√2 - 1) = 3 - 2√2
となります。

⑤は a = √2 - 1 で⑥に連続しているので、⑥を使っても
　M = (√2 - 1)^2 = 2 - 2√2 + 1 = 3 - 2√2
となって同じ結果が得られます。
つまり、⑤⑥⑦の範囲分けで、等号をどちらに入れても同じです。