120!を6^mで割り切れるような最大の整数mを求めるとき6=2×3なので3で120を素因数分解する

120!を6^mで割り切れるような最大の整数mを求めるとき6=2×3なので3で120を素因数分解すると思うんですけど、この時なぜ2ではなくて3を使うのですか？、

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/09/06 22:16

1~120のうち3の倍数は40個

このうち素因数分解で3^4を含むのは81 の1個
3^3を含むのは27、54、108 の3個
3^2を含むのは、9、18、36、45、63、72、90、99、117の9個
3^1を含むのは 当然40個-1-3-9 =27個

従って120!の素因数分解の3の指数は 27+2×9+3×3+4×1=58

一方、2の指数の方だが、1~120に偶数が60個含まれているので
指数が60を越えるのは明らか。

120!を6で割って割りきれると、商の2と3の指数が1減るので、
mは2と3の指数の小さい方。

なのでm=58

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/04 22:42

「3で120を素因数分解する」って、いったい何じゃいな...

それはさておき、

1x2x3x4x5x6x7x・・・x120 を素因数分解したときに
素因数 2 と 3 のどちらの指数が大きいか
が直観で判らない？
2 < 3 より、120! が 3 で割り切れる回数より
2 で割り切れる回数のほうが多いでしょ？

2 で割り切れる回数と 3 で割り切れる回数の
小さいほうが 6 で割り切れる回数になるのだから、
3 で割り切れる回数だけ求めればいい。

そこのところがよく解らないなら、120！ が
3 で割り切れる回数を求めるのと同じ方法で
2 で割り切れる回数も求めてしまって、
そこから 6 で割り切れる回数を考えてもいい。
手間が無駄なだけで、間違ってはいないから。

No.1 回答者： EZWAY 回答日時： 2019/09/04 17:38

1x2x3x4x5x6x7x・・・x120が120！でしょ？

2^nx3^3で割り切れるような最大のm,nを計算すれば、明らかにn>mでしょ？
なので、mを求めればよい。
なぜ明らかかといえば、２も３も素数であり、2<3なので、３の前には必ず２が出てくるから。