数学の本を読んでいてわからない所があります。 写真の最後が3εで極限の証明が終わっているのですが、ε

数学の本を読んでいてわからない所があります。

写真の最後が3εで極限の証明が終わっているのですが、εで押さえる形にしなくてもよいのですか？

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/09/05 19:28

最初の行

|a(n)-a(m)|<ε
の前のページに何が書かれているか不明ですが
仮に
任意の
ε>0
に対して
ある自然数
L_1
が存在して
n>L_1
m>L_1
となる任意の自然数n,mに対して
|a(n)-a(m)|<ε
が成り立つ
とすると

自然数L_1はεの関数なのでそれを明確にするためL_1を
L_1(ε)
と書くと

任意の
ε>0
に対して
ある自然数
L_1(ε)
が存在して
n>L_1(ε)
m>L_1(ε)
となる任意の自然数n,mに対して
|a(n)-a(m)|<ε
が成り立つ
L_1(ε)≦LなるあるLをとると,L≦nなる任意のnに対して
|b(n)-c|<ε
が成り立つ
L≦nなる任意のnをとる.…
n≦m_0なるあるm_0をとると
b(n)-ε≦a(m_0)≦b(n)
が成り立つ
|a(n)-c|≦|a(n)-a(m_0)|+|a(m_0)-b(n)|+|b(n)-c|<ε+ε+ε=3ε

となります
ここで
L_1(ε)
を
L_1(ε/3)
に変えて

任意の
ε>0
に対して
ある自然数
L_1(ε/3)
が存在して
n>L_1(ε/3)
m>L_1(ε/3)
となる任意の自然数n,mに対して
|a(n)-a(m)|<ε/3
が成り立つ
L_1(ε/3)≦LなるあるLをとると,L≦nなる任意のnに対して
|b(n)-c|<ε/3
が成り立つ
L≦nなる任意のnをとる.…
n≦m_0なるあるm_0をとると
b(n)-ε/3≦a(m_0)≦b(n)
が成り立つ
|a(n)-c|≦|a(n)-a(m_0)|+|a(m_0)-b(n)|+|b(n)-c|<ε/3+ε/3+ε/3=ε

とする事ができます

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2019/09/04 23:20

著者によって書き方が違います。

３ε　を避けるために、
（1/3）ε　を途中式では使って
最後が　ε　となるように調整する人のいるし、

どうせ、任意の正の数より小さいことが言えればよいのだから
途中での調整を捨てて
最後を　３ε　の形にしてしまう人もいます。

例えば、ある正の数　γ　を任意に選んだ。
この　γ　に対して　３ε　＜　γ　をなる　ε　を取って　話を進める
のような記述が追加されれば、悩まなくてもすむのでしょうが、

あまり気にしない著者も多いです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/04 23:18

写真の証明中の ε を全て E に書き換えて、

最後に ε = 3E と置いてみましょう。
ね、任意の ε で押さえれられているでしょう？

この部分は脳内変換で済ませて、写真のように
3ε とかで押さえたままにしとくのが普通です。
3ε でも、それが任意の正数だってことは判りますから。